如圖1,⊙O中AB是直徑,C是⊙O上一點,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,點D在線段AC上.
(1)證明:B、C、E三點共線;
(2)若M是線段BE的中點,N是線段AD的中點,證明:MN=OM;
(3)將△DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)后,記為△D1CE1(圖2),若M1是線段BE1的中點,N1是線段AD1的中點,M1N1=OM1是否成立?若是,請證明;若不是,說明理由.

【答案】分析:(1)根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠BCA=90°,∠DCE是直角,即可得到∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°;
(2)連接BD,AE,ON,延長BD交AE于F,先證明Rt△BCD≌Rt△ACE,得到BD=AE,∠EBD=∠CAE,則∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°,即BD⊥AE,再利用三角形的中位線的性質(zhì)得到ON=BD,OM=AE,ON∥BD,AE∥OM,于是有ON=OM,ON⊥OM,即△ONM為等腰直角三角形,即可得到結(jié)論;
(3)證明的方法和(2)一樣.
解答:(1)證明:∵AB是直徑,
∴∠BCA=90°,
而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,
∴∠BCA+∠DCE=90°+90°=180°,
∴B、C、E三點共線;

(2)連接BD,AE,ON,延長BD交AE于F,如圖1,
∵CB=CA,CD=CE,
∴Rt△BCD≌Rt△ACE,
∴BD=AE,∠EBD=∠CAE,
∴∠CAE+∠ADF=∠CBD+∠BDC=90°,即BF⊥AE,
又∵M是線段BE的中點,N是線段AD的中點,而O為AB的中點,
∴ON=BD,OM=AE,ON∥BD,AE∥OM;
∴ON=OM,ON⊥OM,即△ONM為等腰直角三角形,
∴MN=OM;

(3)成立.
理由如下:如圖2,連接BD1,AE1,ON1
∵∠ACB-∠ACD1=∠D1CE1-∠ACD1,
∴∠BCD1=∠ACE1,
又∵CB=CA,CD1=CE1,
∴△BCD1≌△ACE1
與(2)同理可證BD1⊥AE1,△ON1M1為等腰直角三角形,
從而有M1N1=OM1
點評:本題考查了直徑所對的圓周角為直角和三角形中位線的性質(zhì);也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖1,⊙O中AB是直徑,C是⊙O上一點,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,點D在線段AC上.
(1)證明:B、C、E三點共線;
(2)若M是線段BE的中點,N是線段AD的中點,證明:MN=
2
OM;
(3)將△DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)后,記為△D1CE1(圖2),若M1是線段BE1的中點,N1是線段AD1的中點,M1N1=
2
OM1是否成立?若是,請證明;若精英家教網(wǎng)不是,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,在⊙O中AB是直徑,D是上半圓中點,E是下半圓中點.點C是圓上一點(不與B、E重合)連接AD、BD、AC、BC.設(shè)BC長度為n,AC長度為m.
(1)當m=8,n=6時,求四邊形ACBD的面積S;
(2)用含m、n的式子表示四邊形ACBD的面積S;
(3)你可知道tan∠DAC=
m+nm-n
嗎?請你詳細說明理由;
(4)如圖,當點C運動至弧AD或弧BD上時,(3)中結(jié)論是否成立?若成立,請精英家教網(wǎng)說明理由;若不成立,請用含m、n的式子表示tan∠DAC.(直接寫答案)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•尤溪縣質(zhì)檢)如圖①,在⊙O中AB是直徑,D是上半圓中點,E是下半圓中點,點C是⊙O上一點(不與B、E重合)連接AD、BD、AC、BC.設(shè)BC長度為n,AC長度為m.
(1)用含m、n的式子表示四邊形ACBD的面積S;
(2)證明:tan∠DAC=
m+n
m-n
;
(3)如圖②③,當點C運動至
AD
BD
上時,②中結(jié)論是否成立?若成立,請說明理由;若不成立,請用含m、n的式子表示tan∠DAC.(直接寫答案,并選擇其中一種證明)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖1,⊙O中AB是直徑,C是⊙O上一點,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,點D在線段AC上,M是線段BE的中點,N是線段AD的中點.
(1)連接BD,AE,求證:△BCD≌△ACE;
(2)猜想圖1中的MN與OM的數(shù)量關(guān)系(直接寫出結(jié)果);
(3)將△DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°)(備用圖2)后,其他條件不變,(2)中的結(jié)論仍然成立嗎?若是,畫出圖形并證明;若不是,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

如圖甲,⊙O中AB是直徑,C是⊙O上一點,∠ABC=45°,等腰直角△DCE中,∠DCE是直角,點D在線段AC上.
(1)問B、C、E三點在一條直線上嗎?為什么?
(2)若M是線段BE的中點,N是線段AD的中點,試求
MN
OM
的值;
(3)將△DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α(O°<α<90°)后,記為△D1CE1(圖乙),若M1是線段BE1的中點,N1是線段AD1的中點,則
MN
OM
=
2
2

查看答案和解析>>

同步練習冊答案