Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，連接CD，過點(diǎn)B作BG丄CD，分別交CD、CA于點(diǎn)E、F，與過點(diǎn)A且垂直于AB的直線相交于點(diǎn)G，連接DF．給出以下四個(gè)結(jié)論：①

AG

AB

=

FG

FB

；②點(diǎn)F是GE的中點(diǎn)；③AF=

2

3

AB；④S_△ABF=S_△ACD，其中正確的結(jié)論序號是（　�。�

• A、①②
• B、①③
• C、②③
• D、①④

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：首先根據(jù)題意易證得△AFG∽△CFB，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例與BA=BC，繼而證得

AG

AB

=

FG

FB

正確；由點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，易證得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=

1

2

AB，繼而可得FG=

1

2

BF；即可得AF=

1

3

AC，又由等腰直角三角形的性質(zhì)，可得AC=

2

AB，即可求得AF=

2

3

AB；則可得S_△ACD=

1

2

S_△ABC，S_△ABF=

1

3

S_△ABC．

解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴

AG

CB

=

FG

FB

，
∵BA=BC，
∴

AG

AB

=

FG

FB

，
故①正確；
∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD，
∵AB=CB，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴BD=

1

2

AB=

1

2

CB，
∵tan∠BCD=

BD

CB

=

1

2

，
∴在Rt△ABG中，tan∠DBE=

AG

AB

=

1

2

，
∵

AG

AB

=

FG

FB

=

1

2

，
∴FG=

1

2

FB，
在△AFG和△AFD中
∵

AG=AD ∠GAF=∠FAD=45° AF=AF

，
∴△AFG≌△AFD（SAS），
∴FG=FD，
∵∠AFB＞90°，
∴FD≠AD=BD
∴EF≠BE，
∴GE≠BF，
∴點(diǎn)F不是GE的中點(diǎn)．
故②錯(cuò)誤；
∵△AFG∽△CFB，
∴AF：CF=AG：BC=1：2，
∴AF=

1

3

AC，
∵AC=

2

AB，
∴AF=

2

3

AB，
故③正確；
∵BD=

1

2

AB，AF=

1

3

AC，
∴S_△ADF=S_△BDF，S_△ADF=

1

3

S_△ACD，
S_△ACD=

1

2

S_△ABC，S_△ABF=

1

3

S_△ABC，
∴S_△ABF≠S_△ACD，
故④錯(cuò)誤．
故選B．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是證得△AFG∽△CFB，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．