Question

如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點，△ABC的邊BC在x軸上，且B、C在O點兩側(cè)，OB=3，∠BAC=45°，A點坐標為（0，6），將Rt△BOA繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°，A、B的對應(yīng)點分別為D、M，連接AD．

（1）求DM的解析式；
（2）動點P從點O出發(fā)，沿折線ODA方向以1個單位/秒的速度向終點A運動，設(shè)△PDM的面積為S（S≠0），點P的運動時間為t，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，如圖2，F(xiàn)為AC上一點，CF=

10

4

，直線PF交AD于N，當t為何值時，∠NFA=∠ABO？

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：點M的坐標為：（0，3），點D的坐標為（6，0），然后利用待定系數(shù)法即可求得DM的解析式；
（2）由勾股定理可求得AD=6

2

，然后分別從當0≤t≤6時，S_△PDM=

1

2

PD•OM，與當6＜t≤6+6

2

時，S_△PDM=S_△ADM-S_△APM，去分析求解即可求得答案；
（3）首先過點C作CH⊥AB于點H，三角函數(shù)的性質(zhì)，可求得OC的長，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得t的值．

解答：解：（1）設(shè)直線CM的解析式為：y=kx+b，
根據(jù)題意得：OD=OA=6，OM=OB=3，
則點M的坐標為：（0，3），點D的坐標為（6，0），
則

b=3 6k+b=0

，
解得：

k=- 1 2 b=3

，
故DM的解析式為：y=-

1

2

x+3；

（2）∵OA=OD=6，
∴AD=

OA2+OD2

=6

2

，
∴如圖1，當0≤t≤6時，S_△PDM=

1

2

PD•OM，
∵OM=3，OP=t，
∴PD=OD-OP=6-t，
∴S_△PDM=

1

2

×3×（6-t）=-

3

2

t+9；
如圖2，當6＜t≤6+6

2

時，S_△PDM=S_△ADM-S_△APM，
過點P作PE⊥y軸于點E，
∴PE∥OD，
∴△APE∽△ADO，
∴PE：OD=AP：AD，
∵AP=6+6

2

-t，
∴

PE

6

=

6+6 2 -t

6 2

，
解得：PE=3

2

+6-

2

2

t，
∴S_△PDM=S_△ADM-S_△APM=

1

2

AM•OD-

1

2

AM•PE=

1

2

×3×6-

1

2

×3×（3

2

+6-

2

2

t）=

3 2

4

t-

9 2

2

；
∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=

- 3 2 t+9  (0≤t≤6) 3 2 4 t- 9 2 2 (6＜t≤6+6 2 )

；

（3）如圖3，過點C作CH⊥AB于點H，
∵∠BAC=45°，
∴CH=AH，
∵在Rt△AOB中，tan∠ABO=

OA

OB

=2，
∴在Rt△BCH中，tan∠ABO=

CH

BH

=2，
∴CH=2BH，
∴AH=2BH，
∵AB=

OA2+OB2

=3

5

，
∴AH=2

5

，
∴AC=

2

AH=2

10

，
∴OC=

AC2-OA2

=2，
∵∠NFA=∠ABO，∠NFA=∠CFP，
∴∠CFP=∠ABO，
∵∠ACB=∠PCF（公共角），
∴△PCF∽△ACB，
∴

CF

BC

=

CP

AC

，
∵CP=OC-OP=2-t，BC=OB+OC=5，CF=

10

4

，
∴

10 4

5

=

2-t

2 10

，
解得：t=1．
故當t=1時，∠NFA=∠ABO．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形的知識以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．