Question

在凸四邊形ABCD中，M是AB的中點，O是對角線AC與BD的交點，延長MO與CD交于Q點，求證：．

Answer 1

證明：S_△AOM=AO×OM×sinAOM÷2=AM×hAB÷2，
S_△BOM=BO×OM×sinBOM÷2=BM×hAB÷2，
且M為A、B的中點，故AM=BM．
∴S_△AOM=S_△BOM，
∴AO×sinAOM=BO×sinBOM，
∴AO：BO=sinBOM：sinAOM…1
∵S_△COQ=OC×OQ×sinCOQ÷2=CQ×hDC÷2…2
S_△DOQ=DC×OQ×sinDOQ÷2=DQ×hDC÷2…3
且∠AOM=∠COQ，∠BOM=∠DOQ，
故S_△COQ=OC×OQ×sinAOM÷2，S_△DOQ=DC×OQ×sinBOQ÷2，
S_△COQ：S_△DOQ=OC×sinAOM：（OD×sinBOM），
將1式代入上式得S_△COQ：S_△DOQ=OC×OB：（OD×OA），
將2式÷3式亦可得：S_△COQ：S_△DOQ=CQ：DQ，
∴=，
∵=÷，
且∠BOC=∠AOD，
∴．
分析：因為=÷，且∠BOC=∠AOD．
所以要證，
須證=．
根據(jù)面積來證即可．
點評：本題用到的知識點為三角形的面積=任意兩邊的積×夾角的正弦值÷2，等底同高的兩個三角形的面積相等．