【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C是⊙O上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)C的直線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,AE⊥DC,垂足為E,F(xiàn)是AE與⊙O的交點(diǎn),AC平分∠BAE.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AE=6,∠D=30°,求圖中陰影部分的面積.
【答案】
(1)證明:連接OC,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∵AC平分∠BAE,
∴∠OAC=∠CAE,
∴∠OCA=∠CAE,
∴OC∥AE,
∴∠OCD=∠E,
∵AE⊥DE,
∴∠E=90°,
∴∠OCD=90°,
∴OC⊥CD,
∵點(diǎn)C在圓O上,OC為圓O的半徑,
∴CD是圓O的切線
(2)解:在Rt△AED中,
∵∠D=30°,AE=6,
∴AD=2AE=12,
在Rt△OCD中,∵∠D=30°,
∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC,
∴DB=OB=OC= AD=4,DO=8,
∴CD= = =4 ,
∴S△OCD= = =8 ,
∵∠D=30°,∠OCD=90°,
∴∠DOC=60°,
∴S扇形OBC= ×π×OC2= ,
∵S陰影=S△COD﹣S扇形OBC
∴S陰影=8 ﹣ ,
∴陰影部分的面積為8 ﹣ .
【解析】(1)連接OC,先證明∠OAC=∠OCA,進(jìn)而得到OC∥AE,于是得到OC⊥CD,進(jìn)而證明DE是⊙O的切線;(2)分別求出△OCD的面積和扇形OBC的面積,利用S陰影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,把Rt△ABC放在直角坐標(biāo)系內(nèi),其中∠CAB=90°,BC=5,點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(1,0),(4,0),將△ABC沿x軸向右平移,當(dāng)點(diǎn)C落在直線y=2x-6上時(shí),線段BC掃過(guò)的面積為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A( ,0),B(3 ,2),C(0,2).動(dòng)點(diǎn)D以每秒1個(gè)單位的速度從點(diǎn)O出發(fā)沿OC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB,交BC于點(diǎn)F,連接DA、DF.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)求∠ABC的度數(shù);
(2)當(dāng)t為何值時(shí),AB∥DF;
(3)設(shè)四邊形AEFD的面積為S.①求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
②若一拋物線y=﹣x2+mx經(jīng)過(guò)動(dòng)點(diǎn)E,當(dāng)S<2 時(shí),求m的取值范圍(寫出答案即可).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為24厘米.甲、乙兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從頂點(diǎn)A出發(fā),甲以2厘米/秒的速度沿正方形的邊按順時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng),乙以4厘米/秒的速度沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蛞苿?dòng),每次相遇后甲乙的速度均增加1厘米/秒且都改變?cè)较蛞苿?dòng),則第四次相遇時(shí)甲與最近頂點(diǎn)的距離是______厘米.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,有兩根直桿隔河相對(duì),桿CD高30m,桿AB高20m,兩桿相距50m.現(xiàn)兩桿上各有一只魚(yú)鷹,它們同時(shí)看到兩桿之間的河面上E處浮起一條小魚(yú),于是以同樣的速度同時(shí)飛下來(lái)奪魚(yú),結(jié)果兩只魚(yú)鷹同時(shí)到達(dá),叼住小魚(yú).問(wèn)兩桿底部距魚(yú)的距離各是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖甲是任意一個(gè)直角三角形ABC,它的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c.如圖乙、丙那樣分別取四個(gè)與直角三角形ABC全等的三角形,放在邊長(zhǎng)為a+b的正方形內(nèi).
(1)圖乙、圖丙中①②③都是正方形.由圖可知:①是以________為邊長(zhǎng)的正方形,②是以________為邊長(zhǎng)的正方形,③是以________為邊長(zhǎng)的正方形;
(2)圖乙中①的面積為________,②的面積為________,圖丙中③的面積為________;
(3)圖乙中①②面積之和為__________;
(4)圖乙中①②的面積之和與圖丙中正方形③的面積有什么關(guān)系?為什么?由此你能得到關(guān)于直角三角形三邊長(zhǎng)的關(guān)系嗎?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】細(xì)心觀察下圖,認(rèn)真分析各式,然后解答問(wèn)題.
()2+1=2,S1=;
()2+1=3,S2=;
()2+1=4,S3=.
(1)請(qǐng)用含n(n是正整數(shù))的等式表示上述式子的變化規(guī)律;
(2)推算出OA10的長(zhǎng);
(3)求出S12+S22+S32+…+S102的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在下列條件中:①∠A+∠B=∠C;②∠A=∠B=2∠C;③∠A=∠B=a∠C;④∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,能確定△ABC為直角三角形的條件有( )
A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在正方形OABC中,點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,3),點(diǎn)E、F分別在邊BC、BA上,CE=1,若∠EOF=45°,則F點(diǎn)的縱坐標(biāo)是( )
A. 1 B. C. D.
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