Question

拓展探索．
如圖，在△ABC中，BC=6cm，CA=8cm，∠C=90°，⊙O是△ABC的內切圓，點P從點B開始沿BC邊向C以1cm/s的速度移動，點Q從C點開始沿CA邊向點A以2cm/s的速度移動．
（1）求⊙O的半徑；
（2）若P、Q分別從B、C同時出發(fā)，當Q移動到A時，P點與⊙O是什么位置關系？
（3）若P、Q分別從B、C同時出發(fā)，當Q移動到A時，移動停止，則經(jīng)過幾秒，△PCQ的面積等于5cm²？

Answer 1

分析：（1）作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，⊙O的半徑為Rcm，根據(jù)切線的性質得OD=OE=OF，即點D、E、F為切點，易得四邊形OECF為正方形，則CF=CE=OE=R，所以BF=6-R，AE=8-R，再利用勾股定理計算出AB=10cm，于是BD+AD=6-R+8-R=10，然后解方程即可得到R的值；
（2）先根據(jù)速度公式計算出點Q移動到A所用的時間為4秒，則點P在BC上移動的距離=4cm，易得P點移動到了F點，然后根據(jù)點與圓的位置關系可判斷P點與⊙O是什么位置關系；
（3）設經(jīng)過t秒，△PCQ的面積等于5cm²，根據(jù)三角形面積公式得到

1

2

（6-t）•2t=5，然后解一元二次方程求出t，然后根據(jù)Q移動到A時，移動停止可確定的值．

解答：解：（1）作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，如圖，⊙O的半徑為Rcm，
∵⊙O是△ABC的內切圓，
∴OD=OE=OF，即點D、E、F為切點，
而∠C=90°，
∴四邊形OECF為正方形，
∴CF=CE=OE=R，
∴BF=BC-CF=6-R，AE=8-R，
在△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，CA=8cm，
∴AB=

AC2+BC2

=10cm，
∵BD=BF=6-E，AD=AE=8-R，
∴AB=BD+AD=6-R+8-R=10，
∴R=2，
即⊙O的半徑為2cm；

（2）∵點Q移動到A所用的時間=

8

2

=4（秒），
而P、Q分別從B、C同時出發(fā)，
∴點P在BC上移動的距離=4×1=4cm，
∵CF=2cm，
∴BF=6cm-2cm=4cm，
∴P點移動到了F點，
而OF=2cm，
∴P點在⊙O上；
（3）設經(jīng)過t秒，△PCQ的面積等于5cm²，則BP=t，PC=6-t，CQ=2t，
根據(jù)題意得

1

2

（6-t）•2t=5，
解得t₁=1，t₂=5（舍去），
∴經(jīng)過1秒，△PCQ的面積等于5cm²．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓的切線的性質、切線長定理和點與圓的位置關系；會利用勾股定理進行幾何計算；能運用方程的思想解決問題．