Question

【題目】已知拋物線y＝a（x2－cx－2c2）（a＞0）交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．

（1） 取A（－1，0），則點(diǎn)B的坐標(biāo)為___________；

（2） 若A（－1，0），a＝1，點(diǎn)P為第一象限的拋物線，以P為圓心，為半徑的圓恰好與AC相切，求P點(diǎn)坐標(biāo)；

（3） 如圖，點(diǎn)R（0，n）在y軸負(fù)半軸上，直線RB交拋物線于另一點(diǎn)D，直線RA交拋物線于E．若DR＝DB，EF⊥y軸于F，求的值．

Answer 1

【答案】(1) B(2，0)(2) P(3，4)(3)

【解析】（1）將A的坐標(biāo)代入，求出c即可得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，把a，c代入點(diǎn)C的坐標(biāo)即可；

（2）如圖1中，作CE⊥AC交x軸于E，在x軸上取一點(diǎn)F，作FG⊥AC于G，作FP∥AC．當(dāng)FG=時(shí)，點(diǎn)P到直線AC的距離也是，此時(shí)以P為圓心為半徑的圓恰好與AC相切，想辦法求出直線PF的解析式，利用方程組求交點(diǎn)P的值坐標(biāo)即可．

（3）利用DR=DB得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，而點(diǎn)D在拋物線上，即可得出R的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AR的解析式即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，求出EF、AB即可解決問題．

（1）∵拋物線y=a（x2﹣cx﹣2c2）=a（x+c）（x﹣2c），∴A（﹣c，0），B（2c，0），C（0，﹣2ac2），當(dāng)A（﹣1，0）時(shí)，∴﹣c=﹣1，∴c=1，∴2c=2，∴B（2，0）．

故答案為：（2，0）．

（2）∵a=1，c=1，∴B（2，0），C（0，﹣2），∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣2．

如圖1中，作CE⊥AC交x軸于E，在x軸上取一點(diǎn)F，作FG⊥AC于G，作FP∥AC．

當(dāng)FG=時(shí)，點(diǎn)P到直線AC的距離也是，此時(shí)以P為圓心為半徑的圓恰好與AC相切．

∵∠OAC=∠CAE，∠AOC=∠ACE=90°，∴△AOC∽△ACE，∴====，∴AE=5，EC=2．

∵EC∥FG，∴==，∴AF=6，∴F（5，0）．

∵直線AC的解析式為y=﹣2x﹣2，設(shè)直線PF的解析式為y=﹣2x+b，把（5，0）代入得b=10，∴直線PF的解析式為y=﹣2x+10，由，解得：或．

∵點(diǎn)P在第一象限，∴P（3，4）．

（3）如圖2中，∵DR=DB，R（0，n），B（2c，0），∴D（c，n）．

∵點(diǎn)D在拋物線y=a（x2﹣cx﹣2c2）上，∴a（c2﹣c2﹣2c2）=n，∴n=﹣4ac2，∴R（0，﹣4ac2）．

∵A（﹣c，0），∴直線AR的解析式為y=﹣4acx﹣4ac2①．

∵點(diǎn)E在拋物線y=a（x+c）（x﹣2c）②上，聯(lián)立①②得：E（﹣2c，﹣12ac2），∴EF=2c，AB=3c，∴=．