Question

如圖正方形AOBC，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，EF與OB交于G，連接AE、AB、BF．
（1）求證：AE=BF；
（2）若∠AEO=90°，AB=5

2

，OE=3，求OG的長．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AO=BO，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EO=FO，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠BOF，然后利用“邊角邊”證明△AOE和△BOF全等，根據(jù)全等三角形的即可得證；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出BO的長，再利用勾股定理列式求出AE，從而得到BF的長，然后根據(jù)同角的余角相等求出∠EOG=∠FBG，然后求出△EOG和△FOB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出

OG

BG

，然后求解即可．

解答：（1）證明：在正方形AOBC中，AO=BO，
在等腰Rt△EOF中，EO=FO，
∵∠AOE+∠BOE=90°，∠BOF+∠BOE=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
∵在△AOE和△BOF中，

AO=BO ∠AOE=∠BOE EO=FO

，
∴△AOE≌△BOF（SAS），
∴AE=BF；

（2）解：∵AB=5

2

，
∴AO=BO=

2

2

AB=

2

2

×5

2

=5，
∵∠AEO=90°，
∴AE=

AO2-EO2

=

52-32

=4，
根據(jù)（1）BF=AE=4，
∵∠EOG+∠BOF=∠EOF=90°，
∠FBG+∠BOF=180°-90°=90°，
∴∠EOG=∠FBG，
又∵∠EGO=∠FGB（對(duì)頂角相等），
∴△EOG∽△FOB，
∴

OG

BG

=

EO

BF

=

3

4

，
∴OG=5×

3

3+4

=

15

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及同角的余角相等的性質(zhì)，證明邊相等，利用兩邊所在的三角形全等進(jìn)行證明是常用的方法，要熟練掌握并靈活運(yùn)用．