Question

如圖，已知AB、AC分別為⊙O的直徑和弦，D為弧BC的中點，DE⊥AC于E．
（1）求證：DE是⊙O的切線．
（2）若OB=5，BC=6，求CE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證明DE是⊙O的切線只要證明OD⊥DE即可；
（2）由已知利用勾股定理可求得OF的長，從而求得DF的長，由于四邊形DECF是矩形那么CE的值就得到了．
解答：（1）證明：連接OD交BC于F；
∵D為弧BC的中點，
∴OD⊥BC，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°；
又∵DE⊥AC，
∴∠CED=∠ECF=∠CFD=90°，
∴∠FDE=90°，即OD⊥DE；
又∵OD為⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：∵OD⊥BC，BC=6，
∴BF=CF=3，
在Rt△OBF中，OB=5，BF=3，
∴OF=4，
∴DF=OD-OF=1；
又∵四邊形DECF是矩形，
∴CE=DF=1．
答：CE的長是1．
點評：本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．