Question

（1）已知：如圖，過B、C兩點的圓與△ABC的邊AB、AC分別相交于點D和點F，且DE=

1

2

BC．求證：S_△ADE：S_{四邊形DBEC}=

1

3

；
（2）在△ABC的外部取一點P（直線BC上的點除外），分別連接PB、PC，∠BPC與∠BAC的大小關系怎樣？（不要求證明）

Answer 1

分析：（1）可通過相似三角形根據(jù)面積比等于相似比的平方來求解．由于四邊形CEDB是圓的內(nèi)接四邊形，可得出三角形ADE和ACB的兩組對應角相等，得出這兩個三角形相似后，即可得出面積比為1：4，由此可得出本題所求的結論．
（2）如果單純的比較∠BPC和∠BAC的度數(shù)比較困難，如果我們做三角形ABC的外接圓后，可根據(jù)點P在三角形外接圓的不同位置來進行比較，就容易多了．

解答：（1）證明：∵∠ADE、∠AED是圓內(nèi)接四邊形DBCE的外角；
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B．
∴△ADE∽△ACB；
∴S_△ADE：S_△ACB=DE²：BC²=

1

4

；
∴S_△ADE：S_{四邊形DBEC}=

1

3

；

（2）解：作△ABC的外接圓，取點A關于BC的對稱點F，作△FBC的外接圓．
①當點P取在弓形BAC內(nèi)（△ABC外）或弓形BFC內(nèi)時，∠BPC＞∠BAC；
②當點P取在弧BAC或弧BFC（點A、B、C除外）上時，∠BPC=∠BAC；
③當點P取在弓形BAC與弓形BFC所圍成的圖形外（除直線BC上的點）時，∠BPC＜∠BAC．

點評：本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點的應用．