Question

已知：如圖（1）所示，D是∠ABC的角平分線和∠ACB的角平分線的交點，過點D作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．
（1）請你確定EF、BE、CF三者之間的關系，并加以證明．
（2）如圖（2）所示，當點D為∠ABC的外角的角平分線和∠ACB的外角的角平分線的交點時，EF、BE、CF三條線段還滿足上面的關系嗎？若滿足，直接寫出關系式；若不滿足，請寫出新的關系式并加以證明．

（3）如圖（3）所示，當點D為∠ABC的角平分線和∠ACB外角平分線的交點時，EF、BE、CF三條線段還滿足上面的關系嗎？若滿足，直接寫出關系式；若不滿足，請寫出新的關系式并加以證明．

Answer 1

證明：（1）∵EF∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵D是∠ABC的角平分線上的點，
即：∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
即：△BED為等腰三角形
∴EB=ED，
同理DF=FC，
∴EF=BE+CF；
證明：（2）∵EF∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴BE=DE
同理：CF=DF，
又∵EF=DE+DF，
∴EF=BE+CF；
證明：（3）不滿足，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴BE=DE
同理：CF=DF，
∴EF=BE-CF
故不滿足．
分析：根據(jù)題意，①利用角平分線特點及平行線的性質(zhì)，證明題目結論；②利用外角平分線特點及平行線的性質(zhì)，證明題目結論；③綜合角平分線和外角平分線及平行線的性質(zhì)，證明題目結論．
點評：本題主要考查了平行線的性質(zhì)及角平分線的特點，需要根據(jù)圖象一步步驗證結論．