Question

已知：如圖（1）所示，D是∠ABC的角平分線(xiàn)和∠ACB的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作EF∥BC，交AB于E，交AC于F．
（1）請(qǐng)你確定EF、BE、CF三者之間的關(guān)系，并加以證明．
（2）如圖（2）所示，當(dāng)點(diǎn)D為∠ABC的外角的角平分線(xiàn)和∠ACB的外角的角平分線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)，EF、BE、CF三條線(xiàn)段還滿(mǎn)足上面的關(guān)系嗎？若滿(mǎn)足，直接寫(xiě)出關(guān)系式；若不滿(mǎn)足，請(qǐng)寫(xiě)出新的關(guān)系式并加以證明．

（3）如圖（3）所示，當(dāng)點(diǎn)D為∠ABC的角平分線(xiàn)和∠ACB外角平分線(xiàn)的交點(diǎn)時(shí)，EF、BE、CF三條線(xiàn)段還滿(mǎn)足上面的關(guān)系嗎？若滿(mǎn)足，直接寫(xiě)出關(guān)系式；若不滿(mǎn)足，請(qǐng)寫(xiě)出新的關(guān)系式并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，①利用角平分線(xiàn)特點(diǎn)及平行線(xiàn)的性質(zhì)，證明題目結(jié)論；②利用外角平分線(xiàn)特點(diǎn)及平行線(xiàn)的性質(zhì)，證明題目結(jié)論；③綜合角平分線(xiàn)和外角平分線(xiàn)及平行線(xiàn)的性質(zhì)，證明題目結(jié)論．
解答：證明：（1）∵EF∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵D是∠ABC的角平分線(xiàn)上的點(diǎn)，
即：∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
即：△BED為等腰三角形
∴EB=ED，
同理DF=FC，
∴EF=BE+CF；
證明：（2）∵EF∥BC，
∴∠2=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴BE=DE
同理：CF=DF，
又∵EF=DE+DF，
∴EF=BE+CF；
證明：（3）不滿(mǎn)足，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠3，
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴BE=DE
同理：CF=DF，
∴EF=BE-CF
故不滿(mǎn)足．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)及角平分線(xiàn)的特點(diǎn)，需要根據(jù)圖象一步步驗(yàn)證結(jié)論．