Question

如圖，過A、C兩點的拋物線y=x²+bx+c上有一點M，已知A（-1，0），C（0，-2），
（1）這個拋物線的解析式為______；
（2）作⊙M與直線AC相切，切點為C，則M點的坐標(biāo)為______．

Answer 1

解：（1）將A（-1，0），C（0，-2）的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c得
，
解得．
故此拋物線的解析式為y=x²-x-2；

（2）設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m，將A（-1，0），C（0，-2）的坐標(biāo)代入得
，
解得．
故直線AC的解析式為y=-2x-2，
∵⊙M與直線AC相切，
∴與直線AC垂直的直徑所在的直線為y=x+n，
∵切點為C，
∴n=-2，
∴與直線AC垂直的直徑所在的直線為y=x-2，
設(shè)M（a，a²-a-2），
則a-2=a²-a-2，
解得a₁=0（舍去），a₂=1.5，
∴M（1.5，-1.25）．
故答案為：y=x²-x-2，（1.5，-1.25）．
分析：（1）由題意根據(jù)待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
（2）由題意根據(jù)待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式，再根據(jù)切線的性質(zhì)根據(jù)待定系數(shù)法得到經(jīng)過M，切點為C的直線解析式，設(shè)M（a，a²-a-2），得到關(guān)于a的方程，即可求解．
點評：本題考查了拋物線解析式、直線的解析式的求法，切線的性質(zhì)，互相垂直的兩條直線的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．