Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)為P，與y軸交于點(diǎn)A，與直線OP交于點(diǎn)B.

（1）如圖1，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)， ，試確定拋物線的解析式；

（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)M是直線AB下方拋物線上的一點(diǎn)，且S△ABM=3，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）如圖2，若P在第一象限，且，過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)D，將拋物線平移，平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D，該拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，請(qǐng)?zhí)剿魉倪呅?/span>OABC的形狀，并說(shuō)明理由.

圖1 圖2

Answer 1

【答案】（1）；（2）(1, 2) 或 (2, 3).；（3）四邊形OABC是矩形，理由見(jiàn)解析

【解析】（1）利用頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)求出b=-2,然后把b=-2和B點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出拋物線的解析式；

（2）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)，然后得出直線AB的解析式，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2-2x+3），根據(jù)S△ABM=3列出方程，并解方程，從而得出M點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）根據(jù)拋物線的圖象可求出A、P、D的坐標(biāo)，利用拋物線與直線相交求出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出平移后拋物線的解析式，然后求出C點(diǎn)坐標(biāo)，然后求出BC的長(zhǎng)度，從而得出四邊形OABC是平行四邊形，再根據(jù)∠AOC=90得出四邊形OABC是矩形.

解：（1）依題意, , 解得b=-2.

將b=-2及點(diǎn)B(3, 6)的坐標(biāo)代入拋物線解析式

得 . 解c=3. 所以拋物線的解析式為.

（2）∵拋物線 與y軸交于點(diǎn)A，

∴ A(0, 3).

∵ B(3, 6), 可得直線AB的解析式為.

設(shè)直線AB下方拋物線上的點(diǎn)M坐標(biāo)為（x， ），過(guò)M點(diǎn)作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)N, 則N(x, x+3). (如圖1)

圖1

∴.

∴.

解得 .

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1, 2) 或 (2, 3).

（3）如圖2，由 PA=PO, OA=c, 可得.

圖2

∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ,

∴.

∴.

∴ 拋物線,

A（0， ），P（， ）, D（，0）.

可得直線OP的解析式為.

∵ 點(diǎn)B是拋物線與直線的圖象的交點(diǎn)，

令 .

解得.

可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-b， ）.

由平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A, 可設(shè)平移后的拋物線解析式為.

將點(diǎn)D(，0)的坐標(biāo)代入，得.

∴ 平移后的拋物線解析式為.

令y=0, 即. 解得.

依題意, 點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-b，0）.

∴ BC=.

∴ BC= OA.

又BC∥OA，

∴ 四邊形OABC是平行四邊形.

∵ ∠AOC=90，

∴ 四邊形OABC是矩形.