【題目】如圖1(注:與圖2完全相同),二次函數(shù)y= x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(﹣1,0)兩點,與y軸交于點C.

(1)求該二次函數(shù)的解析式;
(2)設該拋物線的頂點為D,求△ACD的面積(請在圖1中探索);
(3)若點P,Q同時從A點出發(fā),都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB,AC邊運動,其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動,當P,Q運動到t秒時,△APQ沿PQ所在的直線翻折,點A恰好落在拋物線上E點處,請直接判定此時四邊形APEQ的形狀,并求出E點坐標(請在圖2中探索).

【答案】
(1)

解:∵二次函數(shù)y= x2+bx+c的圖象與x軸交于A(3,0),B(﹣1,0),

,

解得: ,

∴y= x2 x﹣4


(2)

解:過點D作DM⊥y軸于點M,

∵y= x2 x﹣4= (x﹣1)2 ,

∴點D(1,﹣ )、點C(0,﹣4),

則SACD=S梯形AOMD﹣SCDM﹣SAOC

= ×(1+3)× ×( ﹣4)×1﹣ ×3×4

=4


(3)

解:四邊形APEQ為菱形,E點坐標為(﹣ ,﹣ ).理由如下

如圖2,E點關于PQ與A點對稱,過點Q作,QF⊥AP于F,

∵AP=AQ=t,AP=EP,AQ=EQ

∴AP=AQ=QE=EP,

∴四邊形AQEP為菱形,

∵FQ∥OC,

= =

= =

∴AF= t,F(xiàn)Q= t

∴Q(3﹣ t,﹣ t),

∵EQ=AP=t,

∴E(3﹣ t﹣t,﹣ t),

∵E在二次函數(shù)y= x2 x﹣4上,

∴﹣ t= (3﹣ t)2 (3﹣ t)﹣4,

∴t= ,或t=0(與A重合,舍去),

∴E(﹣ ,﹣ ).


【解析】(1)將A,B點坐標代入函數(shù)y= x2+bx+c中,求得b、c,進而可求解析式;(2)由解析式先求得點D、C坐標,再根據(jù)SACD=S梯形AOMD﹣SCDM﹣SAOC , 列式計算即可;(3)注意到P,Q運動速度相同,則△APQ運動時都為等腰三角形,又由A、E對稱,則AP=EP,AQ=EQ,易得四邊形四邊都相等,即菱形.利用菱形對邊平行且相等的性質可用t表示E點坐標,又E在二次函數(shù)的圖象上,所以代入即可求t,進而E可表示.

練習冊系列答案
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-10

0

10

20

y/

14

32

50

68

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