Question

（2012•高淳縣一模）如圖，已知二次函數(shù)y=-

1

2

x²+mx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，

9

2

）．
（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出該函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P（2a，a）（其中a＞0），與點(diǎn)Q均在該函數(shù)的圖象上，且這兩點(diǎn)關(guān)于圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱，求a的值及點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答，把函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式解析式，寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（2）把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式計(jì)算即可求出a的值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值解答．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=-

1

2

x²+mx+3的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（-1，

9

2

），
∴-

1

2

×（-1）²-m+3=

9

2

，
解得m=-2，
∴該二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-

1

2

x²-2x+3，
∵y=-

1

2

x²-2x+3=-

1

2

（x+2）²+5，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，5）；

（2）∵點(diǎn)P（2a，a）（其中a＞0）在該函數(shù)圖象上，
∴-

1

2

×（2a）²-2×2a+3=a，
解得a₁=

1

2

，a₂=-3（舍去），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

1

2

），
∵點(diǎn)P、Q關(guān)于對(duì)稱軸x=-2對(duì)稱，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（-5，

1

2

），
∴點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離為|-5|=5，
故答案為：a=

1

2

，點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離為5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的對(duì)稱性，以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，先求出m的值是解題的關(guān)鍵．