Question

如圖在直角坐標系XOY中，拋物線y=x²-2x+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，-3），頂點為M．
（1）求A、B兩點間的距離；
（2）求頂點M的坐標；
（3）求四邊形OBMC的面積；
（4）在x軸下方且在拋物線上有一動點D，求四邊形OBDC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）將點C的坐標代入到二次函數的解析式后然后求得點A和點B的坐標即可求得A、B之間的距離；
（2）利用配方法確定二次函數的頂點坐標即可；
（3）將四邊形的面積分成兩個直角三角形和一個梯形的面積即可求解；
（4）設點D的坐標為（x，x²-2x-3），根據四邊形的面積分解成直角三角形和梯形的面積得到有關x的二次函數即可求得最大面積．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²-2x+k與y軸交于點C（0，-3），
∴-3=K
∴解析式為y=x²-2x-3，
令y=0，得：x²-2x-3=0，解得：x=-1或x=3，
∴A點的坐標為：（-1，0），B點的坐標為（3，0），
∴A、B兩點之間的距離為4；

（2）∵y=x²-2x-3=x²-2x+1-4=（x-1）²-4，
∴頂點M的坐標為（1，-4）；

（3）如圖，作MD⊥AB于點D，連接MC、MB，
則S四邊形OCMB=S_梯形OCMD+S_三角形DMB=

1

2

（OC+MD）•OD+

1

2

DB•MD=

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4=7.5；

（4）如圖，作DE⊥AB于點E，
∵點D在拋物線上，
∴設點D的坐標為（x，x²-2x-3），
∴S_{四邊形OBDC}=

1

2

（OC+DE）×OE+

1

2

EB•ED=

1

2

[3-（x²-2x-3）]•x+

1

2

（3-x）（-x²+2x+3）=-

3

2

（x-

3

2

）²+

63

8

；
∴有最大面積是

63

8

．

點評：本題考查了二次函數的綜合知識，題目中在坐標系中求四邊形的面積可以轉化為兩個直角三角形和一個直角梯形的面積去計算，本題難度中等．