Question

【題目】將一塊直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，使得該三角板的兩條直角邊DE、DF恰好分別經(jīng)過點B、C．

（1）如圖①，若∠A=40°時，點D在△ABC內(nèi)，則∠ABC+∠ACB=　 　度，∠DBC+∠DCB=　 　度，∠ABD+∠ACD=　 　度；

（2）如圖②，改變直角三角板DEF的位置，使點D在△ABC內(nèi)，請?zhí)骄俊?/span>ABD+∠ACD與∠A之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，并驗證你的結(jié)論．

（3）如圖③，改變直角三角板DEF的位置，使點D在△ABC外，且在AB邊的左側(cè)，直接寫出∠ABD、∠ACD、∠A三者之間存在的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

【答案】（1）140，90，50；（2）∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A，證明見解析；（3）∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．

【解析】

（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°﹣∠DBC=90°，進而可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定義有90°+（∠ABD+∠ACD）+∠A=180°，則∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A．

（3）設線段DC和線段AB交于點O，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得：∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．

（1）在△ABC中，∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°，

在△DBC中，∵∠BDC=90°，∴∠DBC+∠DCB=180°﹣90°=90°，∴∠ABD+∠ACD=140°﹣90°=50°．

故答案為：140，90，50．

（2）∠ABD+∠ACD與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為：∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A．證明如下：

在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A．

在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°，∴∠ABC+∠ACB﹣（∠DBC+∠DCB）=180°﹣∠A﹣90°，∴∠ABD+∠ACD=90°﹣∠A．

（3）∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．證明如下：

設線段DC和線段AB交于點O．

∵∠BOC=∠D+∠DBO=∠A+∠ACO，∴90°+∠ABD=∠A+∠ACD，∴∠ACD﹣∠ABD=90°﹣∠A．