Question

邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E，F(xiàn)為對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：AE+AF=CE+CF；
（Ⅱ）①求AE+CE的最小值；②求AE+BE+CE的最小值；
（Ⅲ）若∠EAF=45°，DF=2BE，求四邊形AECF的面積．

Answer 1

（I）證明：∵AB=BC，∠ABE=∠CBE，BE=BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE=CE，
同理：AF=CF．
∴AE+AF=CE+CF．

（Ⅱ）解：①當(dāng)A，C，E在同一直線上是最短的．
∴AC=AE+EC=．
②當(dāng)B點(diǎn)和E點(diǎn)重合時(shí)是最短的．
AE+BE+CE=AB+BC=2．

（Ⅲ）解：連接AC交BD于O，設(shè)DF=2x，BE=x，
由勾股定理得：AO==BO=OD，BD=，
即EF=BD-BE-DF=-3x，DE=BD-BE=-x，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ADB=45°=∠EAF，
∵∠AEF=∠AEF，
∴△AEF∽△DEA，
∴=，
∴AE²=DE•EF=（-x）•（-3x），
在直角三角形AEO中，由勾股定理得：AE²=AO²+EO²=+，
∴（-x）（-3x）=+，
解得：x=＞（舍去），x=，
∴EF=-3x=
∴四邊形AECF的面積是EF×AC=××=．
分析：（I）根據(jù)全等三角形判定和正方形性質(zhì)求出△ABE≌△CBE，推出AF=CF，AE=CE即可；
（II）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，求出點(diǎn)E的位置即可；
（III）連接AC交BD于O，設(shè)DF=2x，BE=x，由正方形性質(zhì)和勾股定理求出AO，OB，AC，BD的長(zhǎng)，證△AEF∽△DEA，求出AE的平方的值，在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理求出AE的平方的值，得出方程，求出x的值，根據(jù)面積公式求出即可．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，軸對(duì)稱(chēng)和最短問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)，此題有一點(diǎn)難度，對(duì)學(xué)生有較高的要求，第三問(wèn)得出關(guān)于x的方程是解此題的難點(diǎn)．