Question

閱讀理解

如圖1，△ABC中，沿∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B₁A₁C的平分線A₁B₂折疊，剪掉重疊部分；將余下部分沿∠B_nA_nC的平分線A_nB_n+1折疊，點(diǎn)B_n與點(diǎn)C重合．無(wú)論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，我們就稱∠BAC是△ABC的好角．

小麗展示了確定∠BAC是△ABC的好角的兩種情形．

情形一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的平分線AB₁折疊，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合；

情形二：如圖3，沿 △ABC的∠BAC的平分線AB₁折疊，剪掉重疊部分；

將余下的部分沿∠B₁A₁C的平分線 A₁B₂折疊，此時(shí)點(diǎn)B₁與點(diǎn)C重合．

 

探究發(fā)現(xiàn)

（1）△ABC中，∠B=2∠C，經(jīng)過(guò)兩次折疊，∠BAC  （填“是”或“不是”）△ABC的好角；

（2）若經(jīng)過(guò)三次折疊發(fā)現(xiàn)∠BAC是△ABC的好角，請(qǐng)?zhí)骄俊螧與∠C之間的等量關(guān)系（不妨設(shè)∠B>∠C）．

根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過(guò)n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C之問(wèn)的等量關(guān)系為      ．（不妨設(shè)∠B>∠C）

應(yīng)用提升：

（3）小麗找到一個(gè)三角形，三個(gè)角分別為15º，60º，l05º，發(fā)現(xiàn)60º和l05º的兩個(gè)角都是此三角形的好角．

請(qǐng)你完成，如果一個(gè)三角形的最小角是4º，試求出三角形另外兩個(gè)角的度數(shù)，使該三角形的三個(gè)角均是此三角形的好角．

 

Answer 1

【答案】

（1）是；（2）∠B=n∠C；（3）4º，172º；8º，168º；16º，160º；44º，132º；88º，88º．

【解析】

試題分析：（1）仔細(xì)分析題意根據(jù)折疊的性質(zhì)及“好角”的定義即可作出判斷；

（2）因?yàn)榻?jīng)過(guò)三次折疊∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折疊的∠A₂B₂C=∠C，由∠ABB₁=∠AA₁B₁，∠AA₁B₁=∠A₁B₁C+∠C，又∠A₁B₁C=∠A₁A₂B₂，∠A₁A₂B₂=∠A₂B₂C+∠C，∠ABB₁=∠A₁B₁C+∠C=∠A₂B₂C+∠C+∠C=3∠C，由此即可求得結(jié)果；

（3）因?yàn)樽钚〗鞘?º是△ABC的好角，根據(jù)好角定義，則可設(shè)另兩角分別為4mº，4mnº（其中m、n都是正整數(shù)），由題意得4m+4mn+4=180，所以m(n+1)=44，再根據(jù)m、n都是正整數(shù)可得 m與n+1是44的整數(shù)因子，從而可以求得結(jié)果．

（1）由題意得∠BAC是△ABC的好角；

（2）因?yàn)榻?jīng)過(guò)三次折疊∠BAC是△ABC的好角，所以第三次折疊的∠A₂B₂C=∠C

因?yàn)椤螦BB₁=∠AA₁B₁，∠AA₁B₁=∠A₁B₁C+∠C，又∠A₁B₁C=∠A₁A₂B₂，∠A₁A₂B₂=∠A₂B₂C+∠C，

所以∠ABB₁=∠A₁B₁C+∠C=∠A₂B₂C+∠C+∠C=3∠C

由此可猜想若經(jīng)過(guò)n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B=n∠C；

（3）因?yàn)樽钚〗鞘?º是△ABC的好角，

根據(jù)好角定義，則可設(shè)另兩角分別為4mº，4mnº（其中m、n都是正整數(shù)）．

由題意，得4m+4mn+4=180，所以m(n+1)=44．

因?yàn)閙、n都是正整數(shù)，所以m與n+1是44的整數(shù)因子，

因此有：m=1，n+1=44；m=2，n+1=22；m=4，n+1=11；m=11，n+1=4；m=22，n+1=2．

所以m=1，n=43；m=2，n=21；m=4，n=10；m=11，n=3；m=22，n=1．

所以4m=4，4mn=172；4m=8，4mn=168；4m=16，4mn=160；4m=44，4mn=132；4m=88，4mn=88．

所以該三角形的另外兩個(gè)角的度數(shù)分別為：4º，172º；8º，168º；16º，160º；44º，132º；88º，88º．

考點(diǎn)：折疊問(wèn)題的綜合題

點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見(jiàn)，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.