Question

如圖，正方形ABCO的邊長(zhǎng)為，以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，把正方形ABCO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α后得到正方形A₁B₁C₁O（α＜45°），B₁C₁交y軸于點(diǎn)D，且D為B₁C₁的中點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A₁、B₁、C₁．
（1）填空：tanα=______；拋物線的函數(shù)表達(dá)式是______；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PB₁C₁為直角三角形？若存在，直接寫出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）若正方形A₁B₁C₁O以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線A₁O下滑，直至頂點(diǎn)B₁落在x軸上時(shí)停止．設(shè)正方形落在x軸上方部分的面積為S，求S關(guān)于滑行時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）①∵四邊形A₁B₁C₁O為正方形，
∴OC₁=B₁C₁，∠OC₁B₁=90度．
又∵D是B₁C₁的中點(diǎn)，
∴．
∵由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠C₁OD=∠AOA₁=α，
∴在Rt△C₁OD中，tanα=．
∴tanα的值是．
②過點(diǎn)A₁作A₁E⊥x軸，垂足為點(diǎn)E．
在Rt△A₁EO中，tanα=，
∴．
設(shè)A₁E=k，則OE=2k，在Rt△A₁EO中，，
根據(jù)勾股定理，得A₁E²+OE²=OA₁²．
即，
解得k₁=-1（舍），k₂=1．
∴A₁E=1，OE=2．
又∵點(diǎn)A₁在第二象限，
∴點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（-2，1）．
直接寫出點(diǎn)B₁的坐標(biāo)為（-1，3），點(diǎn)C₁的坐標(biāo)為（1，2）．
∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)A₁，B₁，C₁．
∴
解得
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．

（2）將（1）的拋物線解析式配方，得．
∴拋物線的對(duì)稱軸是直線．
假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，分三種情況：
①以點(diǎn)B₁為直角頂點(diǎn)；
易求得，直線A₁B₁的解析式：y=2x+5，
當(dāng)x=-時(shí)，y=2×（-）+5=；
②以點(diǎn)C₁為直角頂點(diǎn)；
易求得，直線OC₁的解析式：y=2x，
當(dāng)x=-時(shí)，y=2×（-）=-；
③以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)；
分別過點(diǎn)B₁、C₁作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為G、H；（如右圖）
設(shè)點(diǎn)P（-，y）：
當(dāng)點(diǎn)P在直線B₁C₁上方時(shí)，
B₁G=1-=、PG=y-3、C₁H=1+=、PH=y-2
∵∠B₁PG=90°-∠C₁PH=∠PC₁H，∠B₁GP=∠PHC₁=90°
∴△B₁GP∽△PHC₁，則
解得：y=、y=（舍）；
當(dāng)點(diǎn)P在直線B₁C₁下方時(shí)，同上，可求得y=；
綜上，存在點(diǎn)P，使△PB₁C₁為直角三角形．
滿足條件的點(diǎn)P共有4個(gè)：，，，．

（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)后的正方形為O′A′B′C′，分三種情況：
①當(dāng)點(diǎn)A′運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=；
當(dāng)0＜t≤時(shí)，如圖①；
OO′=2t，O′E=OO′=t
∴S=S_正方形-S_△OO′E=5-×2t×t=-5t²+5；
②當(dāng)點(diǎn)C′運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=1；
當(dāng)＜t＜1時(shí)，如圖②；
OO′=2t，OA′=2t-，A′F=OA′=，O′E=OO′=t
B′F=A′B′-A′F=，C′E=O′C′-O′E=-t；
∴S=（B′F+C′E）×B′C′=（+-t）×=；
③當(dāng)點(diǎn)B′運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=；
當(dāng)1≤t＜時(shí)，如圖③；
同②可得：B′F=A′B′-A′F=，B′E=2B′F=3-2t；
∴S=××（3-2t）=5t²-15t+；
綜上，S=．

分析：（1）①在Rt△ODC₁中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠DOC₁=α，而DC₁是正方形邊長(zhǎng)的一半，可據(jù)此求出∠α的正切值；
②在求拋物線的解析式中，必須先求出A₁、B₁、C₁三點(diǎn)的坐標(biāo)，可過這三點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線（具體向哪條坐標(biāo)軸作垂線，可視情況而定），通過構(gòu)建的直角三角形以及∠α的正切值，可求出這三點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可．
（2）首先要大致確定有幾個(gè)符合條件的點(diǎn)P：
①點(diǎn)B₁是直角頂點(diǎn)，那么點(diǎn)P必為直線A₁B₁與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)（有一個(gè)）；
②點(diǎn)C₁是直角頂點(diǎn)，那么點(diǎn)P必為直線OC₁與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)（有一個(gè)）；
③點(diǎn)P是直角頂點(diǎn)，那么點(diǎn)P必為以線段B₁C₁為直徑的圓與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)（有兩個(gè)），可過B₁、C₁作對(duì)稱軸的垂線，通過構(gòu)建的相似三角形來求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）此題的思路并不復(fù)雜，但需要考慮的情況較多，大致分成三段考慮即可：
①x軸在O、A₁兩點(diǎn)之間、②x軸在A₁、C₁兩點(diǎn)之間、③x軸在B₁、C₁兩點(diǎn)之間．
點(diǎn)評(píng)：此題涉及的內(nèi)容相等復(fù)雜，難度很大，主要考查的知識(shí)點(diǎn)有：函數(shù)解析式的確定、正方形的性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)、解直角三角形的應(yīng)用、相似三角形與直角三角形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的解法等等．后兩題涉及的情況較多，一定要注意分類討論．最后一題中，一定要注意t的不同取值范圍內(nèi)，正方形的運(yùn)動(dòng)位置．