【題目】如圖1,兩個(gè)完全相同的三角形紙片和重合放置,其中,.
(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖2,固定,使繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí),填空:①線段與的位置關(guān)系是________;②設(shè)的面積為,的面積為,則與的數(shù)量關(guān)系是_____.
(2)猜想論證:當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖3所示的位置時(shí),請(qǐng)猜想(1)中與的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)拓展探究:已知,平分,,,交于點(diǎn)(如圖4).若在射線上存在點(diǎn),使,請(qǐng)求相應(yīng)的的長(zhǎng).
【答案】(1)DE∥AC;S1=S2;(2)成立,證明見(jiàn)解析;(3)BF的長(zhǎng)為3或6.
【解析】
(1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CD,然后求出△ACD是等邊三角形,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ACD=60°,然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行解答;
②根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=AD,再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB,然后求出AC=BD,再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到AB的距離等于點(diǎn)D到AC的距離,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答;
(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE,AC=CD,再求出∠ACN=∠DCM,然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AN=DM,然后利用等底等高的三角形的面積相等證明;
(3)過(guò)點(diǎn)D作DF1∥BE,求出四邊形BEDF1是菱形,根據(jù)菱形的對(duì)邊相等可得BE=DF1,然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點(diǎn)F1為所求的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)D作DF2⊥BD,求出∠F1DF2=60°,從而得到△DF1F2是等邊三角形,然后求出DF1=DF2,再求出∠CDF1=∠CDF2,利用“邊角邊”證明△CDF1和△CDF2全等,根據(jù)全等三角形的面積相等可得點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn),然后勾股定理求出EG的長(zhǎng),即可得解
(1)①∵△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)點(diǎn)D恰好落在AB邊上,
∴AC=CD,
∵∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°,
∴△ACD是等邊三角形,
∴∠ACD=60°,
又∵∠CDE=∠BAC=60°,
∴∠ACD=∠CDE,
∴DE∥AC;
故答案為:DE∥AC;
②∵∠B=30°,∠C=90°,
∴CD=AC=AB,
∴BD=AD=AC,
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),△ACD的邊AC、AD上的高相等,
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),
即S1=S2;
故答案為:S1=S2;
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于M,過(guò)點(diǎn)A作AN⊥CE交EC的延長(zhǎng)線于N
,
∵△DEC是由△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到,
∴BC=CE,AC=CD,
∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°,
∴∠ACN=∠DCM,
∵在△ACN和△DCM中,
,
∴△ACN≌△DCM(AAS),
∴AN=DM,
∴△BDC的面積和△AEC的面積相等(等底等高的三角形的面積相等),
即S1=S2;
(3)如圖,過(guò)點(diǎn)D作DF1∥BE,易求四邊形BEDF1是菱形,
所以BE=DF1,且BE、DF1上的高相等,
此時(shí)S△DCF1=S△BDE;
過(guò)點(diǎn)D作DF2⊥BD,
∵∠ABC=60°,F1D∥BE,
∴∠F2F1D=∠ABC=60°,
∵BF1=DF1,∠F1BD=∠ABC=30°,∠F2DB=90°,
∴∠F1DF2=∠ABC=60°,
∴△DF1F2是等邊三角形,
∴DF1=DF2,過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于G,
∵BD=CD,∠ABC=60°,點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn),
∴∠DBC=∠DCB=×60°=30°,BG=BC= ,
∴BD=3
∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°,
∠CDF2=360°-150°-60°=150°,
∴∠CDF1=∠CDF2,
∵在△CDF1和△CDF2中,
,
∴△CDF1≌△CDF2(SAS),
∴點(diǎn)F2也是所求的點(diǎn),
∵∠ABC=60°,點(diǎn)D是角平分線上一點(diǎn),DE∥AB,
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×60°=30°,
∴∠CDE=360°-∠CDF2-∠F2DB-DBE=360°-150°-90°-30°=90°,
∴∠CDG=90°-∠DCG=60°,
又∵BD=CD=3,
∴DG= ,
設(shè)EG為x,則DE=2x,
,
解得x=1.5,
∴BE=BG-EG=4.5-1.5 =3,
∴BF1=3,BF2=BF1+F1F2=3+3=6,
故BF的長(zhǎng)為3或6.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,E、F是ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn),AF=CE.
求證:(1)△ABE≌△CDF;
(2)ED∥BF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB是⊙O的直徑,OF⊥AB,交AC于點(diǎn)F,點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上,射線EM經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且∠ACE+∠AFO=180°.
(1)求證:EM是⊙O的切線;
(2)若∠A=∠E,BC=,求陰影部分的面積.(結(jié)果保留和根號(hào)).
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【題目】如圖,△ABC中,⊙O經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn),且交AC于點(diǎn)D,連接BD,∠DBC=∠BAC.
(1)證明BC與⊙O相切;
(2)若⊙O的半徑為6,∠BAC=30°,求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB是⊙O的直徑,OF⊥AB,交AC于點(diǎn)F,點(diǎn)E在AB的延長(zhǎng)線上,射線EM經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且∠ACE+∠AFO=180°.
(1)求證:EM是⊙O的切線;
(2)若∠A=∠E,BC=,求陰影部分的面積.(結(jié)果保留和根號(hào)).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E、F分別在平行四邊形ABCD邊BC和AD上(E、F都不與兩端點(diǎn)重合),連結(jié)AE、DE、BF、CF,其中AE和BF交于點(diǎn)G,DE和CF交于點(diǎn)H.令,.若,則圖中有_______個(gè)平行四邊形(不添加別的輔助線);若,且四邊形ABCD的面積為28,則四邊形FGEH的面積為_______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,,,,,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿線段BA,向點(diǎn)A以的速度勻速運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),沿線段DC向點(diǎn)C以的速度勻速運(yùn)動(dòng),已知兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為.
(1)連結(jié)P、Q兩點(diǎn),則線段PQ長(zhǎng)的取值范圍是________;
(2)當(dāng)cm時(shí),求t的值;
(3)若在線段CD上有一點(diǎn)E,cm,連結(jié)AC和PE.請(qǐng)問(wèn)是否存在某一時(shí)刻使得AC平分PE?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y=2x2+bx+c與直線y=﹣1只有一個(gè)公共點(diǎn),且經(jīng)過(guò)A(m﹣1,n)和B(m+3,n),過(guò)點(diǎn)A,B分別作x軸的垂線,垂足記為M,N,則四邊形AMNB的周長(zhǎng)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案,已知大正方形面積為49,小正方形面積為4,若用,表示直角三角形的兩直角邊(),下列四個(gè)說(shuō)法:
①,②,③,④.
其中說(shuō)法正確的是 …………………………………………………………( )
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
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