Question

如圖，矩形紙片ABCD的兩邊長AB=8cm、AD=6cm，沿過BD的中點D的直線對折，使B與D點重合（即B、D兩點關于EF對稱，EF是BD的垂直平分線），然后將紙片攤平．
（1）求證：BEDF為菱形；
（2）求折痕EF的長．

Answer 1

證明：（1）∵紙片沿過BD的中點D的直線對折、使B與D點重合，
∴OD=OB，∠DOE=∠BOF，OF=OE，
∴△DOE≌△BOF，所以DE=BF，
∵DE∥BF，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∵EF⊥BD，
∴四邊形BEDF為菱形；

解：（2）連接BE，由題意可得：EF垂直平分BD，
所以BE=DE，又OB=BD==5，
設BE=ED=x，則CE=8-x，
在直角△BCE中，由勾股定理可得：x²=（8-x）²+6²，解得x=，
又在直角△ODE中，由勾股定理可得：OE==，
而△DOE≌△BOF，所以OE=OF，故EF=．
分析：（1）平行四邊形對角線互相垂直即為菱形；
（2）第二問中在直角三角形中，對角線BD是已知，可設BE的長為x，利用勾股定理求出BE，OE即可．
點評：掌握菱形性質的判定，會利用勾股定理求解一些簡單的直角三角形．