Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°．點D為△ABC內(nèi)一點，且DB=DC，∠DCB=30°．點E為BD延長線上一點，且AE=AB．
（1）求∠ADE的度數(shù)；
（2）若點M在DE上，且DM=DA，求證：ME=DC．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易求∠ABD的大小，易求AD所在直線垂直平分BC，根據(jù)等腰三角形底邊三線合一性質(zhì)可得AD平分∠BAC，根據(jù)三角形外角等于不相鄰兩內(nèi)角性質(zhì)即可解題；
（2）連接AM，易證△ABD≌△AEM，可得BD=ME，根據(jù)BD=CD即可求得ME=CD．

解答：解：（1）∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=

180°-30°

2

=75°，
∵DB=DC，∠DCB=30°，
∴∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=45°，
∵AB=AC，DB=DC，
∴AD所在直線垂直平分BC，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD=

1

2

∠BAC=15°，
∴∠ADE=∠ABD+∠BAD=60°；
（2）連接AM，

∵∠ADE=60°，DM=AD，
∴△ADM是等邊三角形，
∴∠ADB=∠AME=120°
∵AE=AB，
∴∠ABD=∠E，
在△ABD和△AEM中，

∠ADB=∠AME ∠ABD=∠E AB=AE

，
∴△ABD≌△AEM（AAS），
∴BD=ME，
∵BD=CD，
∴CD=ME．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABD≌△AEM是解題的關(guān)鍵．