Question

如圖所示正方形ABCD，點E為AB上一點，在BC的延長線上截取CF=AE，EF與BD、CD分別交于點M、N，P為EF的中點，下列結論正確的個數(shù)為

 

．
①∠EDB=∠EFB；②DM=DN；③∠DNE=∠BDF；④CP⊥BD．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,正方形的性質

專題：

分析：根據(jù)正方形的性質得出DC=AD，∠ADC=∠ABC=90°，∠A=∠DCF=90°，根據(jù)SAS推出△EAD≌△FCD，根據(jù)全等三角形的性質得出DE=DF，∠ADE=∠FDC，求出△EDF是等腰直角三角形，推出E、B、F、D四點共圓，即可判斷①；由三角形外角性質得出∠DMN=∠BDE+45°，∠DNM=45°+∠CDF=45°+∠ADE，即可判斷②；根據(jù)∠DNE=45°+∠CDF=∠BDF即可判斷③；連接DP、BP，求出DP=BP=

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2

EF，推出△BCP≌△DCP，根據(jù)全等得出∠DCP=∠BCP，根據(jù)等腰三角形的性質推出CP⊥BD，即可判斷④正確．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴DC=AD，∠ADC=∠ABC=90°，∠A=∠DCF=90°，
在△EAD和△FCD中，

AD=DC ∠A=∠DCF AE=CF

，
∴△EAD≌△FCD（SAS），
∴DE=DF，∠ADE=∠FDC，
∵∠ADC=90°，
∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=∠EDC+∠ADE=∠DC=90°，
即△EDF是等腰直角三角形，
∵∠ABC=90°，
∴∠EDF+∠ABC=180°，
∴E、B、F、D四點共圓，
∴∠EDB=∠EFB，∴①正確；
∵△EDF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DFE=45°，
由三角形外角性質得：∠DMN=∠BDE+45°，∠DNM=45°+∠CDF=45°+∠ADE，
根據(jù)已知不知道∠BDE和∠ADE是否相等，
∴∠DMN和∠DNM不能推出相等，即DM=DN不一定正確，∴②錯誤；
∠DNE=45°+∠CDF=∠BDF，∴③正確；
連接DP、BP，
則∵∠EDF=∠EBC=90°，P位EF的中點，
∴DP=BP=

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2

EF，
在△BCP和△DCP中，

CP=CP DC=BC BP=DP

，
∴△BCP≌△DCP（SSS），
∴∠DCP=∠BCP，
∵DC=BC，
∴CP⊥BD（三線合一），∴④正確；
故答案為：①③④．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，等腰三角形的性質，正方形的性質和判定的應用，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對應邊相等，對應角相等，難度偏大．