Question

有一組平行線a∥b∥c，過點A作AM⊥b于M，作∠MAN=60°，且AN=AM，過點N作CN⊥AN交直線c于點C，在直線b上取點B使BM=CN，則△ABC為

 

三角形，若直線a與b間的距離為1，b與c間的距離為2，則AC=

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),平行線之間的距離,等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：證明△ABM≌△ACN（SAS），即可證出AB=AC，∠BAC=∠CAN=60°，證出世紀星ABC為等邊三角形；在圖1中，過點N作HG⊥a于H，交c于點G，由勾股定理先求出CN的值就可以求出AC的值．

解答：解：∵AM⊥b，CN⊥AN，
∴∠AMB=∠ANC=90°，
在△ABM與△ACN中，

AM=AN ∠AMB=∠ANC BM=CN

，
∴△ABM≌△ACN（SAS），
∴∠BAM=∠CAN，AB=AC；
∴∠BAC=∠MAN=60°，
∴△ABC為等邊三角形．
故答案為：等邊．

如圖1，過點N作HG⊥a于H，交c于點G，
∴∠AHN=∠NGC=90°．
∵∠MAN=60°，
∴∠HAN=30°，
∴HN=AN，∠ANH=60°，
∵AM=AN=1，
∴HN=0.5．
∴HG=2.5．
∵CN⊥AN，
∴∠ANC=90°，
∴∠ANH+∠CNG=90°，
∴∠CNG=30°，
∴CN=2CG，
在Rt△CGN中，由勾股定理，得
4CG²-CG²=

25

4

，CG=

5 3

6

∴CN=

5 3

3

在Rt△ANC中，由勾股定理，得
AC²=(

5 3

3

)2+1，
∴AC=

2 21

3

；
故答案為：

2 21

3

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的關鍵．