Question

如圖1，點P是直線l：y=-2x-2上的點，過點P的另一條直線m交拋物線y=x²于A、B兩點．
（1）若A（-

3

2

，n）、B（1，1），求直線m的解析式；
（2）若P（-2，t），當(dāng)PA=AB時，求點A的坐標(biāo)；
（3）無論點P在l上移動到何處，是否總可以找到這樣的直線，使得PA=AB？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先求出A點坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式得出即可；
（2）首先求出P點坐標(biāo)，再利用梯形的性質(zhì)得出B點坐標(biāo)，代入y=x²求出m的值即可得出A點坐標(biāo)；
（3）首先設(shè)P（a，-2a-2），A（m，m²），再表示出B點坐標(biāo)，進(jìn)而利用根的判別式求出，無論a為何值時，關(guān)于m的方程總有兩個不相等的實數(shù)根，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）∵A（-

3

2

，n），
∴n=（-

3

2

）²=

9

4

，
∴A（-

3

2

，

9

4

），
將A（-

3

2

，

9

4

），B（1，1）代入y=kx+b得：

k+b=1 - 3 2 k+b= 9 4

，
解得：

k=- 1 2 b= 3 2

故直線m的解析式為：y=-

1

2

x+

3

2

；

（2）∵點P（-2，t）在直線y=-2x-2上，
∴t=2，∴P（-2，2）．
設(shè)A（m，m²），如圖1所示，分別過點P、A、B
作x軸垂線，垂足分別為點G、E、F．
∵PA=AB，∴AE是梯形PGFB的中位線，
∴GE=EF，AE=

1

2

（PG+BF）．
∵OF=|EF-OE|，GE=EF，
∴OF=|GE-EO|
∵GE=GO-EO=2+m，EO=-m，
∴OF=|2+m-（-m）|=|2+2m|，
∴OF=2m+2，
∵AE=

1

2

（PG+BF），
∴BF=2AE-PG=2m²-2，
∴B（2+2m，2m²-2）．
∵點B在拋物線y=x²上，
∴2m²-2=（2+2m）²
解得：m=1或-3，
當(dāng)m=-1時，m²=1；當(dāng)m=-3時，m²=9
故點A的坐標(biāo)為（-1，1）或（-3，9）．

（3）存在，設(shè)P（a，-2a-2），A（m，m²）．
理由：如圖1所示，分別過點P、A、B作x軸的垂線，垂足分別為點G、E、F．
∵PA=AB，∴AE是梯形PGFB的中位線，
∴GE=EF，AE=

1

2

（PG+BF）．
∵OF=|EF-OE|，GE=EF，
∴OF=|GE-EO|
∵GE=GO-EO=m-a，EO=-m，
∴OF=|m-a-（-m）|=|2m-a|，
∴OF=2m-a，
∵AE=

1

2

（PG+BF），
∴BF=2AE-PG=2m²+2a+2，
可得：B（2m-a，2m²+2a+2）．
∵點B在拋物線y=x²上，
∴2m²+2a+2=（2m-a）²
整理得：2m²-4am+a²-2a-2=0．
△=8（a+1）²+8＞0，
∴無論a為何值時，關(guān)于m的方程總有兩個不相等的實數(shù)根．
即對于任意給定的點P，拋物線上總能找到兩個滿足條件的點A，使得PA=AB成立．所以總能找到這樣的直線．

點評：此題主要考查了梯形的性質(zhì)以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式以及點的坐標(biāo)性質(zhì)等知識，正確表示出B點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．