Question

【題目】若兩條拋物線的頂點相同，則稱它們?yōu)椤坝押脪佄锞�”，已知拋物線C1：y1=﹣x2+ax+b與拋物線C2：y2=2x2+4x+6為“友好拋物線”，拋物線C1與x軸交于點A、C，與y軸交于點B．

（1）求拋物線C1的表達式．
（2）若F（t，0）（﹣3＜t＜0）是x軸上的一點，過點F作x軸的垂線交拋物線與點P，交直線AB于點E，過點P作PD⊥AB于點D．

①是否存在點F，使PE+PD的值最大，若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
②連接PA，以AP為邊作圖示一側(cè)的正方形APMN，隨著點F的運動，正方形的大小、位置也隨之改變．當正方形APMN中的邊MN與y軸有且僅有一個交點時，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由y2=2x2+4x+6=2（x+1）2+4，可知頂點坐標為（﹣1，4），

∵知拋物線C1：y1=﹣x2+ax+b與拋物線C2：y2=2x2+4x+6為“友好拋物線”，

∴頂點相同，拋物線C1的解析式為y1=﹣（x+1）2+4，

即y1=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：①由題意易知A（﹣3，0），B（0，3），

∴OA=OB=3，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴∠BAO=45°，

∵PF⊥x軸，

∴∠AEF=90°﹣45°=45°，

又∵PD⊥AB，

∴△PDE是等腰直角三角形，

∴PD越大，PE+PD的值越大，

易得直線AB的解析式為y=x+3，

設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，

聯(lián)立 ，

消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，

當△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，

即m= 時，直線與拋物線只有一個交點，PD最長，

此時x=﹣ ，y=﹣ + = ，

∴點P（﹣ ， ）時，PD+PE的值最大，

此時t=﹣ ．

②拋物線y=﹣x2﹣2x+3的對稱軸為直線x=﹣ =﹣1，

（i）如圖1，當點M在y軸上時，過點P作PQ⊥y軸于Q，

在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°，

∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°，

∴∠APF=∠QPM，

∵在△APF和△MPQ中，

，

∴△APF≌△MPQ（AAS），

∴PF=PQ，

∵點P的橫坐標為t（t＜0），則PQ=﹣t，

即PF=﹣t，

∴點P的坐標為（t，﹣t），

∵點P在拋物線y=﹣x2﹣2x+3上，

∴﹣t2﹣2t+3=﹣t，

整理得，t2+t﹣3=0，

解得t1= （舍去），t2= ，

（ii）如圖2，點N在y軸上時，

∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，

∴∠FPA=∠QAN，

又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，

∴△APF≌△NAO，

∴PF=AO，

則點P坐標為P（t，3），

則有﹣t2﹣2t+3=3，解得x=﹣2或0，

觀察圖象可知，當正方形APMN中的邊MN與y軸有且僅有一個交點時，t的取值范圍為 ≤t≤﹣2

【解析】（1）求出拋物線C1的頂點坐標即可解決問題；（2）①首先證明△PDE是等腰直角三角形，可知PD越大，PE+PD的值越大，易得直線AB的解析式為y=x+3，設(shè)與AB平行的直線解析式為y=x+m，聯(lián)立 ，消掉y得，x2+3x+m﹣3=0，當△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，即m= 時，直線與拋物線只有一個交點，PD最長，由此即可解決問題；②分兩種情形（i）如圖1中，當點M在y軸上時，（ii）如圖2，點N在y軸上時，分別求解即可；
【考點精析】關(guān)于本題考查的等腰直角三角形和二次函數(shù)的圖象，需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點才能得出正確答案．