【題目】如圖,過A(1,0)、B(3,0)作x軸的垂線,分別交直線y=﹣x+4于C、D兩點.拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過O、C、D三點.

(1)求拋物線的表達式;

(2)點M為直線OD上的一個動點,過M作x軸的垂線交拋物線于點N,問是否存在這樣的點M,使得以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,求此時點M的橫坐標;若不存在,請說明理由;

(3)若△AOC沿CD方向平移(點C在線段CD上,且不與點D重合),在平移的過程中△AOC與△OBD重疊部分的面積記為S,試求S的最大值.

【答案】(1)y=-x2+x.(2)存在.點M的橫坐標為:.(3)

【解析】

試題分析:(1)利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;

(2)由題意,可知MNAC,因為以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形,則有MN=AC=3.設點M的橫坐標為x,則求出MN=|x2-4x|;解方程|x2-4x|=3,求出x的值,即點M橫坐標的值;

(3)設水平方向的平移距離為t(0t<3),利用平移性質(zhì)求出S的表達式:S=-(t-1)2+;當t=1時,s有最大值為

試題解析:(1)由題意,可得C(1,3),D(3,1).

拋物線過原點,設拋物線的解析式為:y=ax2+bx.

,解得,

拋物線的表達式為:y=-x2+x.

(2)存在.

設直線OD解析式為y=kx,將D(3,1)代入,

求得k=,

直線OD解析式為y=x.

設點M的橫坐標為x,則M(x,x),N(x,-x2+x),

MN=|yM-yN|=|x-(-x2+x)|=|x2-4x|.

由題意,可知MNAC,因為以A、C、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形,則有MN=AC=3.

|x2-4x|=3.

x2-4x=3,整理得:4x2-12x-9=0,

解得:x=或x=;

x2-4x=-3,整理得:4x2-12x+9=0,

解得:x=

存在滿足條件的點M,點M的橫坐標為:

(3)C(1,3),D(3,1)

易得直線OC的解析式為y=3x,直線OD的解析式為y=x.

如解答圖所示,

設平移中的三角形為AOC,點C在線段CD上.

設OC與x軸交于點E,與直線OD交于點P;

設AC與x軸交于點F,與直線OD交于點Q.

設水平方向的平移距離為t(0t<3),

則圖中AF=t,F(xiàn)(1+t,0),Q(1+t,+t),C(1+t,3-t).

設直線OC的解析式為y=3x+b,

將C(1+t,3-t)代入得:b=-4t,

直線OC的解析式為y=3x-4t.

E(t,0).

聯(lián)立y=3x-4t與y=x,解得x=t,

P(t,t).

過點P作PGx軸于點G,則PG=t.

S=SOFQ-SOEP=OFFQ-OEPG

=(1+t)(+t)-tt

=-(t-1)2+

當t=1時,S有最大值為

S的最大值為

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