Question

如圖，已知在△ABP中，C是BP邊上一點，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且交BP于點E．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）過點C作CF⊥AD，垂足為點F，延長CF交AB于點G，若AG•AB=12，求AC的長；
（3）在滿足（2）的條件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半徑及sin∠ACE的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°進而得出答案；
（2）首先得出△CAG∽△BAC，進而得出AC²=AG•AB，求出AC即可；
（3）先求出AF的長，根據(jù)勾股定理得：AG=，即可得出sin∠ADB=，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可．
解答：（1）證明：連接CD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，
∴∠PAC=∠ADC，
∴∠CAD+∠PAC=90°，
∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直徑，
∴PA是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，
∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA，
∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC，
∴△CAG∽△BAC，
∴=，
即AC²=AG•AB，
∵AG•AB=12，
∴AC²=12，
∴AC=2；

（3）解：設AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x，
∴AD=AF+FD=3x，
在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC²=AF•AD，
即3x²=12，
解得；x=2，
∴AF=2，AD=6，∴⊙O半徑為3，
在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，
根據(jù)勾股定理得：AG===，
由（2）知，AG•AB=12，
∴AB==，
連接BD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=，AD=6，
∴sin∠ADB=，
∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，
∴sin∠ACE=．
點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關系等知識，根據(jù)已知得出AG的長以及AB的長是解題關鍵．