Question

（2013•包頭）如圖，已知在△ABP中，C是BP邊上一點，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，且交BP于點E．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）過點C作CF⊥AD，垂足為點F，延長CF交AB于點G，若AG•AB=12，求AC的長；
（3）在滿足（2）的條件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半徑及sin∠ACE的值．

Answer 1

分析：（1）根據圓周角定理得出∠ACD=90°以及利用∠PAC=∠PBA得出∠CAD+∠PAC=90°進而得出答案；
（2）首先得出△CAG∽△BAC，進而得出AC²=AG•AB，求出AC即可；
（3）先求出AF的長，根據勾股定理得：AG=

AF2+GF2

，即可得出sin∠ADB=

2

5

5

，利用∠ACE=∠ACB=∠ADB，求出即可．

解答：（1）證明：連接CD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD+∠ADC=90°，
又∵∠PAC=∠PBA，∠ADC=∠PBA，
∴∠PAC=∠ADC，
∴∠CAD+∠PAC=90°，
∴PA⊥OA，而AD是⊙O的直徑，
∴PA是⊙O的切線；

（2）解：由（1）知，PA⊥AD，又∵CF⊥AD，∴CF∥PA，
∴∠GCA=∠PAC，又∵∠PAC=∠PBA，
∴∠GCA=∠PBA，而∠CAG=∠BAC，
∴△CAG∽△BAC，
∴

AC

AB

=

AG

AC

，
即AC²=AG•AB，
∵AG•AB=12，
∴AC²=12，
∴AC=2

3

；

（3）解：設AF=x，∵AF：FD=1：2，∴FD=2x，
∴AD=AF+FD=3x，
在Rt△ACD中，∵CF⊥AD，∴AC²=AF•AD，
即3x²=12，
解得；x=2，
∴AF=2，AD=6，∴⊙O半徑為3，
在Rt△AFG中，∵AF=2，GF=1，
根據勾股定理得：AG=

AF2+GF2

=

22+12

=

5

，
由（2）知，AG•AB=12，
∴AB=

12

AG

=

12 5

5

，
連接BD，
∵AD是⊙O的直徑，
∴∠ABD=90°，
在Rt△ABD中，∵sin∠ADB=

AB

AD

，AD=6，
∴sin∠ADB=

2

5

5

，
∵∠ACE=∠ACB=∠ADB，
∴sin∠ACE=

2

5

5

．

點評：此題主要考查了圓的綜合應用以及勾股定理和銳角三角函數關系等知識，根據已知得出AG的長以及AB的長是解題關鍵．