Question

如圖1，在正方形ABCD的外側(cè)，作兩個(gè)等邊三角形ADE和DCF，連接AF，BE.

（1）請(qǐng)判斷：AF與BE的數(shù)量關(guān)系是　　　　　　　，位置關(guān)系是　　　　　　　；

（2）如圖2，若將條件“兩個(gè)等邊三角形ADE和DCF”變?yōu)椤皟蓚�(gè)等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第（1）問中的結(jié)論是否仍然成立?請(qǐng)作出判斷并給予證明；

（3）若三角形ADE和DCF為一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）問中的結(jié)論都能成立嗎？請(qǐng)直接寫出你的判斷.

A

E

E

D

備用圖

 

Answer 1

解：（1）AF=BE，AF⊥BE. ························ 2分

（2）結(jié)論成立.····························· 3分

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴BA=AD =DC，∠BAD =∠ADC = 90°.

在△EAD和△FDC中，

∴△EAD≌△FDC.

∴∠EAD=∠FDC.

∴∠EAD+∠DAB=∠FDC+∠CDA，即∠BAE=∠ADF.··············· 4分

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF.

∴BE = AF，∠ABE=∠DAF.························ 6分

∵∠DAF +∠BAF=90°，

∴∠ABE +∠BAF=90°，

∴AF⊥BE.······························· 9分

（3）結(jié)論都能成立.·························· 11分