Question

在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于E，交直線DC于F．

（1）在圖1中證明CE=CF；

（2）若∠ABC=90°，G是EF的中點(diǎn)（如圖2），討論線段DG與BD的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

（1）證明：如圖1，

∵AF平分∠BAD，

∴∠BAF=∠DAF，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，

∴∠CEF=∠F．

∴CE=CF．

（2）解：如圖2，

連接GC、BG，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD為矩形，

∵AF平分∠BAD，

∴∠DAF=∠BAF=45°，

∵∠DCB=90°，DF∥AB，

∴∠DFA=45°，∠ECF=90°

∴△ECF為等腰直角三角形，

∵G為EF中點(diǎn)，

∴EG=CG=FG，CG⊥EF，

∵△ABE為等腰直角三角形，AB=DC，

∴BE=DC，

∵∠CEF=∠GCF=45°，

∴∠BEG=∠DCG=135°

在△BEG與△DCG中，

，

∴△BEG≌△DCG（SAS），

∴BG=DG，

∵CG⊥EF，

∴∠DGC+∠DGA=90°，

又∵∠DGC=∠BGA，

∴∠BGE+∠DGE=90°，

∴△DGB為等腰直角三角形，

∴BD=DG．