Question

如圖1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，現(xiàn)將△ABC補成矩形，使△ABC的兩個頂點為矩形一邊的兩個端點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，那么符合要求的矩形可以畫出兩個（即矩形ABCD和矩形AEFB，如圖2）．

解答下列問題：
（1）設圖2中矩形ABCD和矩形AEFB的面積分別為S₁、S₂，則S₁

 

 S₂（選填＞，=或＜）；
（2）如圖3，△ABC是鈍角三角形，按短文中的要求把它補成矩形，那么符合要求的矩形可以畫

 

個，利用圖3把它畫出來；
（3）如圖4，△ABC是銳角三角形，三邊滿足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它補成矩形，那么符合要求的矩形可以畫

 

個，利用圖4把它畫出來；
（4）在（3）中所畫的矩形中，哪一個矩形的周長最小？說出你的理由．

Answer 1

考點：圖形的剪拼

專題：

分析：（1）易得原有三角形都等于所畫矩形的一半，那么這兩個矩形的面積相等．
（2）可仿照圖2矩形ABFE的畫法得到矩形．由于∠C非直角，所以只有一種情況．
（3）可讓原銳角三角形的任意一邊為矩形的一邊，另一頂點在矩形的另一邊的對邊上，可得三種情況．
（4）根據三個矩形的面積相等，利用求差法比較三個矩形的周長即可．

解答：解：（1）由題意可知：矩形ACBD的面積是△ABC面積的2倍，而矩形AEFB與△ABC的底與高相同，則也是△ABC面積的2倍，所以S₁=S₂，
故答案為：=；
（2）1個，如圖所示：（3）3個，如圖所示：

（4）以AB為邊的矩形周長最小，理由如下：
設矩形BCED，ACHQ，ABGF的周長分別為L₁，L₂，L₃，BC=a，AC=b，AB=c．易得三個矩形的面積相等，設為S，
∴L₁=

2s

a

+2a；L₂=

2s

b

+2b；L₃=

2s

c

+2c．
∵L₁-L₂=2（a-b）

ab-s

ab

，而a-b＞0，ab-s＞0，ab＞0
∴L₁-L₂＞0，
∴L₁＞L₂，同理可得L₂＞L₃
∴以AB為邊長的矩形周長最�。�

點評：此題主要考查了作圖與應用作圖以及矩形的性質和直角三角形的性質等內容，根據矩形性質得出面積關系是解決問題的關鍵．