Question

將兩個大小不同的含30°角的三角板的直角頂點O重合在一起，保持△COD不動，將△AOB繞點O旋轉，設射線AB與射線DC交于點F．

（1）如圖①，若∠AOD=120°，
①AB與OD的位置關系

AB∥OD

．
②∠AFC的度數(shù)=

30°

．
（2）如圖②當∠AOD=130°，求∠AFC的度數(shù)．
（3）由上述結果，寫出∠AOD和∠AFC的關系

∠AOD=∠AFC+90°

．
（4）如圖③，作∠AFC、∠AOD的角平分線交于點P，求∠P的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）①先求出∠BOD=30°，從而得到∠B=∠BOD，再根據(jù)內錯角相等，兩直線平行解答；
②根據(jù)兩直線平行，同位角相等解答即可；
（2）根據(jù)周角求出∠BOC，根據(jù)鄰補角求出∠OBF和∠OCF，然后根據(jù)四邊形的內角和定理列式計算即可得解；
（3）根據(jù)計算的度數(shù)寫出關系式即可；
（4）設OB、PF相交于G，然后根據(jù)三角形的內角和定理列式整理即可得解．

解答：解：（1）①∵∠AOD=120°，
∴∠BOD=∠AOD-∠AOB=120°-90°=30°；
∴∠B=∠BOD，
∴AB∥OD；
②∵AB∥OD，
∴∠AFC=∠D=30°；

（2）∵∠AOD=130°，
∴∠BOC=360°-130°-90°×2=50°，
又∵∠OBF=180°-30°=150°，∠OCF=180°-60°=120°，
∴∠AFC=360°-150°-120°-50°=40°；

（3）∠AOD=∠AFC+90°；

（4）設OB、PF相交于G，
∵∠AFC、∠AOD的角平分線交于點P，
∴∠BFG=

1

2

∠AFC，∠AOP=

1

2

∠AOD，
在△BFG和△OGP中，∠BFG+∠OBF=∠POG+∠P，
∴

1

2

∠AFC+150°=

1

2

∠AOD+90°+∠P，
∴

1

2

∠AFC+150°=

1

2

（∠AFC+90°）+90°+∠P，
整理得，∠P=15°．
故答案為：（1）AB∥OD，30°；（3）∠AOD=∠AFC+90°．

點評：本題考查了三角形的內角和定理，平行線的判定與性質，熟記性質并準確識圖，理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．