【題目】如圖,在△ABC中,∠B=45°,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ的一邊QP在BC邊上,E、F分別在AB、AC上,AD交EF于點H.
(1)當(dāng)矩形EFPQ為正方形時,求正方形的邊長;
(2)設(shè)EF=x,當(dāng)x為何值時,矩形EFPQ的面積最大?并求出最大面積;
(3)當(dāng)矩形EFPQ的面積最大時,該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線BC勻速向右運(yùn)動(當(dāng)矩形的頂點Q到達(dá)C點時停止運(yùn)動),設(shè)運(yùn)動時間為t秒,矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S,求S與t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍.
【答案】(1)當(dāng)矩形EFPQ為正方形時,邊長為 ;(2)當(dāng)x=時,矩形EFPQ的面積最大,最大面積為5;(3)當(dāng)0≤t≤時,S =5-2t2;當(dāng)<t<2.5時,S=-2t;當(dāng)2.5≤t≤3時,S=2t2-12t+18
【解析】(1)由條件可得,即,計算即可.
(2)可利用用x表示出EH.表示出矩形EFPQ的面積,利用二次函數(shù)可求得其最大值;
(3)分0≤t≤,,2.5≤t≤3三種情況進(jìn)行討論即可.
(1)∵四邊形EFPQ為矩形,
∴EF∥BC,
,
即,
解得
∴當(dāng)矩形EFPQ為正方形時,邊長為.
即當(dāng)x為時,矩形EFPQ為正方形;
(2)∵∠B=45°,
∴,
∴
∵EF∥BC,
∴△AEH∽△ABD,∴,
∵EF∥BC,∴△AFH∽△ACD,∴,
∴,即,∴,
已知EF=x,則EH=.
∵∠B=45°,
∴=4﹣.
S矩形EFPQ
∴當(dāng)x=時,矩形EFPQ的面積最大,最大面積為5.
(3)如圖①,當(dāng)0≤t≤時
設(shè)EF交AC于M點,FP交AC于N點,
∵△MNF∽△CAD,
∴,
即,
∴FN=4t ,
∴S=5-t·4t,
=5-2t2
如圖②,當(dāng)時
設(shè)EF交AC于M點,過C作CN⊥EF于N點,
∵△CNM∽△ADC
∴,
即,
∴MN=,
∴FN=t-,
∴S=5-(t-+t),
=-2t ,
如圖③,當(dāng)2.5≤t≤3時
設(shè)EQ交AC于N點,
∵△CQN∽△CDA
∴,
∴NQ=12-4t,
∴S=(3-t)(12-4t)
=2t2-12t+18
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,數(shù)軸的原點為0,點A、B、C是數(shù)軸上的三點,點B對應(yīng)的數(shù)位1,AB=6,BC=2,動點P、Q同時從A、C出發(fā),分別以每秒2個長度單位和每秒1個長度單位的速度沿數(shù)軸正方向運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t秒(t>0)
(1)求點A、C分別對應(yīng)的數(shù);
(2)經(jīng)過t秒后,求點P、Q分別對應(yīng)的數(shù)(用含t的式子表示)
(3)試問當(dāng)t為何值時,OP=OQ?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的直徑AB為2cm,弦BC為1cm,∠ACB的平分線與⊙O交于點D,與AB交于點E,P為AB延長線上一點,連接PC,且PC=PE.
(1)求AC、AD的長;
(2)試判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,是邊上的一點,是的中點,過點作的平行線交的延長線于,且,連結(jié).
(1)求證:是的中點;
(2)如果,試猜測四邊形的形狀,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠BAC=45°,若BD=2,CD=3,AD⊥BC于D,將△ABD沿AB所在的直線折疊,使點D落在點E處;將△ACD沿AC所在的直線折疊,使點D落在點F處,分別延長EB、FC使其交于點M.
(1)判斷四邊形AEMF的形狀,并給予證明.
(2)設(shè)AD=x,利用勾股定理,建立關(guān)于x的方程模型,求四邊形AEMF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知線段和線段.
(1)按要求作圖(保留作圍痕跡,不寫作法);
延長線段至點,使,反向延長線段至點,使;
(2)如果,分別是線段,的中點,且, ,求線段的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】經(jīng)過頂點的一條直線,.分別是直線上兩點,且.
(1)若直線經(jīng)過的內(nèi)部,且在射線上,請解決下面兩個問題:
①如圖1,若,,
則 ; (填“”,“”或“”);
②如圖2,若,請?zhí)砑右粋關(guān)于與關(guān)系的條件 ,使①中的兩個結(jié)論仍然成立,并證明兩個結(jié)論成立.
(2)如圖3,若直線經(jīng)過的外部,,請?zhí)岢?/span>三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想(不要求證明).
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