Question

（2002•海淀區(qū)）如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF交⊙O于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作直線與AF垂直交AF延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，且交AB延長(zhǎng)線于C點(diǎn)．
（1）求證：CD與⊙O相切于點(diǎn)E；
（2）若CE•DE=，AD=3，求⊙O的直徑及∠AED的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題可知，E已經(jīng)是圓上一點(diǎn)，欲證CD為切線，只需證明∠OED=90°即可．
（2）欲求圓的直徑，必須求出半徑OA或OB或OE，可以把題中所求部分抽象到相似三角形中來考慮，借助于比例線段來求解．∠AED的正切值則必須求出AD以及ED的值．
解答：（1）證明：連接OE，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE=∠EAD．
∵OE=OA，
∴∠OEA=∠OAE．
∴∠OEA=∠EAD．
∴OE∥AD．
∵∠OED=∠ADC=90°且E在⊙O上，
∴CD與⊙O相切于點(diǎn)E．

（2）解：連接BE、EF，
∵AB為直徑，
∴RT△BAE∽R(shí)T△EAD．
∴①
∵CD與⊙O相切于點(diǎn)E，
∴∠CEB=∠OAE．
∵∠C為公共角，
∴△CBE∽△CEA．
∴②
由①②得
，
∴DE•EC=AD•CB．
∵CE•DE=，AD=3，
∴．
由（1）知OE∥AD
∴．
設(shè)OE=x（x＞0），
則CO=，CA=，
∴．
∴x=-1（舍去）或x=．
∴⊙O直徑為．
∴CA=CB+BA=5．
由切割線定理知CE²=CB•CA=，
∴．
∴．
∴tan∠AED=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的判定及相似三角形的判定方法等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．