Question

如圖，D，E，F(xiàn)分別是正三角形ABC的邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，P為BC上任意一點(diǎn)，△DPM為正三角形．求證：PE=FM．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：連接DF、DE，根據(jù)D、E、F為中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理可得DF=ED，利用60°證明∠FDM=∠EDP，再根據(jù)△DPM為正三角形可得DM=DP，然后利用邊角邊定理證明△DEP與△DFM全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明．

解答：證明：連接DF、DE，∵D為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，E為BC 的中點(diǎn)，
∴DF=

1

2

BC，DE=

1

2

AC，
∴DF=ED，
∵∠ADF=∠BDE=60°，
∴∠EDF=180°-2×60°=60°，
又∵∠FDM=∠PDM-∠PDF=60°-∠PDF，
∠EDP=∠EDF-∠PDF=60°-∠PDF，
∴∠FDM=∠EDP，
在△DEP與△DFM中，

DF=DE ∠FDM=∠EDP DM=DP

，
∴△DEP≌△DFM（SAS）．
∴PE=FM．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等邊三角形的三條邊都相等，每一個(gè)角都是60°的性質(zhì)，三角形的中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用全等三角形證明線段相等是常用的方法，需要熟練掌握．