Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于點(diǎn)E，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，DG是梯形ABCD的高．
（1）求證：AE=GF；
（2）試探究四邊形AEFD是什么特殊四邊形？請回答并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)AE=5，求四邊形DEGF的面積．（特別提醒：表示角最好用數(shù)字）

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）先根據(jù)∠C=60°，DG是梯形ABCD的高，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)得出GF=CF．由平行線的性質(zhì)得出∠BAD=120°，由AB=AD，AE⊥BD于點(diǎn)E可知∠DAE=

1

2

∠BAD=60°，故可得出△DGC≌△DEA，所以AE=CG，由此可得出結(jié)論；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)（三線合一），可得BE=DE，又由F是CD的中點(diǎn)，可得EF是△DBC的中位線，易得四邊形AEFD是平行四邊形；
（2）由（2）可知：EF⊥DG，所以四邊形DEGF的面積=

1

2

EF•DG；根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求得EF與DG的長，即可求得四邊形的面積．

解答：（1）證明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=∠C=60°．
∵DG是梯形ABCD的高，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，
∴GF=CF，
∴△CGF是等邊三角形，
∴GF=CF=CG．
∵AD∥BC，
∴∠BAD=120°．
∵AB=AD，AE⊥BD于點(diǎn)E，
∴∠DAE=

1

2

∠BAD=60°，
在△DGC與△DEA中，
∵

CD=AD ∠C=∠DAE ∠DGC=∠DEA=90°

，
∴△DGC≌△DEA（AAS），
∴AE=CG，即AE=GF；


（2）平行四邊形．
證明：∵AB=DC，
∴梯形ABCD為等腰梯形．
∵∠C=60°，
∴∠BAD=∠ADC=120°，
又∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=30°．
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=30°．
∴∠BDC=90°．
由已知AE⊥BD，
∴AE∥DC．
又∵AE為等腰三角形ABD的高，
∴E是BD的中點(diǎn)，
∵F是DC的中點(diǎn)，
∴EF∥BC．
∴EF∥AD．
∴四邊形AEFD是平行四邊形，

（3）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，
∵AE=5，
∴AD=10．
在Rt△DGC中，
∵∠C=60°，DC=AD=10，
∴DG=CD•sin60°=10×

3

2

=5

3

．
由（1）知：在平行四邊形AEFD中EF=AD=10，
又∵DG⊥BC，
∴DG⊥EF，
∴四邊形DEGF的面積=

1

2

EF•DG=

1

2

×10×5

3

=25

3

．

點(diǎn)評：本題考查的是四邊形綜合題，涉及到等腰梯形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識，難度適中．