Question

已知拋物線y=3ax²+2bx+c
（1）若a=b=1，c=-1，求該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若a+b+c=1，是否存在實(shí)數(shù)x₀，使得相應(yīng)的y=1？若有，請(qǐng)指明有幾個(gè)并證明你的結(jié)論；若沒(méi)有，闡述理由；
（3）若a=

1

3

，c=2+b且拋物線在-1≤x≤2區(qū)間上的最小值是-3，求b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：綜合題

分析：（1）將a、b、c的值代入，可得出拋物線解析式，從而可求解拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）由y=1得3ax²+2bx+c=1，表示出方程的判別式的表達(dá)式，利用配方法及完全平方的非負(fù)性即可判斷出結(jié)論；
（3）a=

1

3

，c-b=2，則拋物線可化為y=x²+2bx+b+2，其對(duì)稱(chēng)軸為x=-b，以-1≤x≤2為區(qū)間，討論b的取值，根據(jù)最小值為-3，可得出方程，求出b的值即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=b=1，c=-1，時(shí)，拋物線為y=3x²+2x-1，
∵方程3x²+2x-1=0的兩個(gè)根為x₁=-1，x₂=

1

3

，
∴該拋物線與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是（-1，0）和（

1

3

，0）；

（2）由y=1得3ax²+2bx+c=1，
△=4b²-12a（c-1）
=4b2-12a（-a-b）
=4b²+12ab+12a²
=4（b²+3ab+3a²）
=4[（b+

3

2

a）²+

3

4

a²]，
∵a≠0，
∴△＞0，
∴方程3ax²+2bx+c=1有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，
即存在兩個(gè)不同實(shí)數(shù)x₀，使得相應(yīng)y=1；

（3）a=

1

3

，c-b=2，則拋物線可化為y=x²+2bx+b+2，其對(duì)稱(chēng)軸為x=-b，
當(dāng)x=-b＜-1時(shí)，即b＞1，則有拋物線在x=-1時(shí)取最小值為-3，
此時(shí)-3=（-1）²+2×（-1）b+b+2，
解得：b=6，符合題意；
當(dāng)x=-b＞2時(shí)，即b＜-2，則有拋物線在x=2時(shí)取最小值為-3，
此時(shí)-3=2²+2×2b+b+2，
解得：b=-

9

5

，不合題意，舍去．
當(dāng)-1≤-b≤2時(shí)，即-2≤b≤1，則有拋物線在x=-b時(shí)取最小值為-3，
此時(shí)-3=（-b）²+2×（-b）b+b+2，
化簡(jiǎn)得：b²-b-5=0，
解得：b=

1+ 21

2

（不合題意，舍去），b=

1- 21

2

，
綜上可得：b=6或b=

1- 21

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了一元二次方程的解，求根公式及根與系數(shù)的關(guān)系，解答本題的難點(diǎn)在第三問(wèn)，關(guān)鍵是分類(lèi)討論，此題難度較大．