Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l和拋物線W交于A，B兩點，其中點A是拋物線W的頂點．當(dāng)點A在直線l上運動時，拋物線W隨點A作平移運動．在拋物線平移的過程中，線段AB的長度保持不變．
應(yīng)用上面的結(jié)論，解決下列問題：
如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l₁：y=x-2．點A是直線l₁上的一個動點，且點A的橫坐標(biāo)為t．以A為頂點的拋物線C1：y=-x2+bx+c與直線l₁的另一個交點為點B．
（1）當(dāng)t=0時，求拋物線C₁的解析式和AB的長；
（2）當(dāng)點B到直線OA的距離達(dá)到最大時，直接寫出此時點A的坐標(biāo)；
（3）過點A作垂直于y軸的直線交直線l2：y=

1

2

x于點C．以C為頂點的拋物線C2：y=x2+mx+n與直線l₂的另一個交點為點D．
①當(dāng)AC⊥BD時，求t的值；
②若以A，B，C，D為頂點構(gòu)成的圖形是凸四邊形，直接寫出滿足條件的t的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）當(dāng)t=0時，A的坐標(biāo)可以求得是（0，-2），利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，則B的坐標(biāo)可以求得；
（2）△OAB的面積一定，當(dāng)OA最小時，B到OA的距離即△OAB中OA邊上的高最大，此時OA⊥AB，據(jù)此即可求解；
（3）①方法一：設(shè)AC，BD交于點E，直線l₁：y=x-2，與x軸、y軸交于點P和Q（如圖1）．由點D在拋物線C₂：y=[x-（2t-4）]²+（t-2）上，可得

t-1

2

=[（t-1）-（2t-4）]²+（t-2），解方程即可得到t的值；
方法二：設(shè)直線l₁：y=x-2與x軸交于點P，過點A作y軸的平行線，過點B作x軸的平行線，交于點N．（如圖2），根據(jù)BD⊥AC，可得t-1=2t-

7

2

，解方程即可得到t的值；
②設(shè)直線l₁與l₂交于點M．隨著點A從左向右運動，從點D與點M重合，到點B與點M重合的過程中，可得滿足條件的t的取值范圍．

解答：解：（1）∵點A在直線l₁：y=x-2上，且點A的橫坐標(biāo)為0，
∴點A的坐標(biāo)為（0，-2），
∴拋物線C₁的解析式為y=-x²-2，
∵點B在直線l₁：y=x-2上，
設(shè)點B的坐標(biāo)為（x，x-2）．
∵點B在拋物線C₁：y=-x²-2上，
∴x-2=-x²-2，
解得x=0或x=-1．
∵點A與點B不重合，
∴點B的坐標(biāo)為（-1，-3），
∴由勾股定理得AB=

(0+1)2+(-2+3)2

=

2

．

（2）當(dāng)OA⊥AB時，點B到直線OA的距離達(dá)到最大，則OA的解析式是y=-x，則

y=x-2 y=-x

，
解得：

x=1 y=-1

，
則點A的坐標(biāo)為（1，-1）．

（3）①方法一：設(shè)AC，BD交于點E，直線l₁：y=x-2，與x軸、y軸交于點P和Q（如圖1）．

則點P和點Q的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，-2）．
∴OP=OQ=2．
∴∠OPQ=45°．
∵AC⊥y軸，
∴AC∥x軸．
∴∠EAB=∠OPQ=45°．
∵∠DEA=∠AEB=90°，AB=

2

，
∴EA=EB=1．
∵點A在直線l₁：y=x-2上，且點A的橫坐標(biāo)為t，
∴點A的坐標(biāo)為（t，t-2）．
∴點B的坐標(biāo)為（t-1，t-3）．
∵AC∥x軸，
∴點C的縱坐標(biāo)為t-2．
∵點C在直線l2：y=

1

2

x上，
∴點C的坐標(biāo)為（2t-4，t-2）．
∴拋物線C₂的解析式為y=[x-（2t-4）]²+（t-2）．
∵BD⊥AC，
∴點D的橫坐標(biāo)為t-1．
∵點D在直線l2：y=

1

2

x上，
∴點D的坐標(biāo)為(t-1，

t-1

2

)．
∵點D在拋物線C₂：y=[x-（2t-4）]²+（t-2）上，
∴

t-1

2

=[(t-1)-(2t-4)]2+(t-2)．
解得t=

5

2

或t=3．
∵當(dāng)t=3時，點C與點D重合，
∴t=

5

2

．
方法二：設(shè)直線l₁：y=x-2與x軸交于點P，過點A作y軸的平行線，過點B作x軸的平行線，交于點N．（如圖2）

則∠ANB=90°，∠ABN=∠OPB．
在△ABN中，BN=ABcos∠ABN，AN=ABsin∠ABN．
∵在拋物線C₁隨頂點A平移的過程中，
AB的長度不變，∠ABN的大小不變，
∴BN和AN的長度也不變，即點A與點B的橫坐標(biāo)的差以及縱坐標(biāo)的差都保持不變．
同理，點C與點D的橫坐標(biāo)的差以及縱坐標(biāo)的差也保持不變．
由（1）知當(dāng)點A的坐標(biāo)為（0，-2）時，點B的坐標(biāo)為（-1，-3），
∴當(dāng)點A的坐標(biāo)為（t，t-2）時，點B的坐標(biāo)為（t-1，t-3）．
∵AC∥x軸，
∴點C的縱坐標(biāo)為t-2．
∵點C在直線l2：y=

1

2

x上，
∴點C的坐標(biāo)為（2t-4，t-2）．
令t=2，則點C的坐標(biāo)為（0，0）．
∴拋物線C₂的解析式為y=x²．
∵點D在直線l2：y=

1

2

x上，
∴設(shè)點D的坐標(biāo)為(x，

x

2

)．
∵點D在拋物線C₂：y=x²上，
∴

x

2

=x2．
解得x=

1

2

或x=0．
∵點C與點D不重合，
∴點D的坐標(biāo)為(

1

2

，

1

4

)．
∴當(dāng)點C的坐標(biāo)為（0，0）時，點D的坐標(biāo)為(

1

2

，

1

4

)．
∴當(dāng)點C的坐標(biāo)為（2t-4，t-2）時，點D的坐標(biāo)為(2t-

7

2

，t-

7

4

)．
∵BD⊥AC，
∴t-1=2t-

7

2

．
∴t=

5

2

．
②t的取值范圍是t＜

15

4

或t＞5．
設(shè)直線l₁與l₂交于點M．隨著點A從左向右運動，從點D與點M重合，到點B與點M重合的過程中，以A，B，C，D為頂點構(gòu)成的圖形不是凸四邊形．

點評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識點有：待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式，點到直線的距離，平行于坐標(biāo)軸的點的特點，方程思想的運用，綜合性較強(qiáng)，難度較大．