Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l和拋物線W交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A是拋物線W的頂點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)A在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí)，拋物線W隨點(diǎn)A作平移運(yùn)動(dòng)．在拋物線平移的過(guò)程中，線段AB的長(zhǎng)度保持不變．
應(yīng)用上面的結(jié)論，解決下列問(wèn)題：
如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l₁：y=x-2．點(diǎn)A是直線l₁上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為t．以A為頂點(diǎn)的拋物線C1：y=-x2+bx+c與直線l₁的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)B．
（1）當(dāng)t=0時(shí)，求拋物線C₁的解析式和AB的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)B到直線OA的距離達(dá)到最大時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）過(guò)點(diǎn)A作垂直于y軸的直線交直線l2：y=

1

2

x于點(diǎn)C．以C為頂點(diǎn)的拋物線C2：y=x2+mx+n與直線l₂的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)D．
①當(dāng)AC⊥BD時(shí)，求t的值；
②若以A，B，C，D為頂點(diǎn)構(gòu)成的圖形是凸四邊形，直接寫(xiě)出滿足條件的t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）當(dāng)t=0時(shí)，A的坐標(biāo)可以求得是（0，-2），利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式，則B的坐標(biāo)可以求得；
（2）△OAB的面積一定，當(dāng)OA最小時(shí)，B到OA的距離即△OAB中OA邊上的高最大，此時(shí)OA⊥AB，據(jù)此即可求解；
（3）①方法一：設(shè)AC，BD交于點(diǎn)E，直線l₁：y=x-2，與x軸、y軸交于點(diǎn)P和Q（如圖1）．由點(diǎn)D在拋物線C₂：y=[x-（2t-4）]²+（t-2）上，可得

t-1

2

=[（t-1）-（2t-4）]²+（t-2），解方程即可得到t的值；
方法二：設(shè)直線l₁：y=x-2與x軸交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線，交于點(diǎn)N．（如圖2），根據(jù)BD⊥AC，可得t-1=2t-

7

2

，解方程即可得到t的值；
②設(shè)直線l₁與l₂交于點(diǎn)M．隨著點(diǎn)A從左向右運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，到點(diǎn)B與點(diǎn)M重合的過(guò)程中，可得滿足條件的t的取值范圍．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A在直線l₁：y=x-2上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為0，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2），
∴拋物線C₁的解析式為y=-x²-2，
∵點(diǎn)B在直線l₁：y=x-2上，
設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，x-2）．
∵點(diǎn)B在拋物線C₁：y=-x²-2上，
∴x-2=-x²-2，
解得x=0或x=-1．
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，-3），
∴由勾股定理得AB=

(0+1)2+(-2+3)2

=

2

．

（2）當(dāng)OA⊥AB時(shí)，點(diǎn)B到直線OA的距離達(dá)到最大，則OA的解析式是y=-x，則

y=x-2 y=-x

，
解得：

x=1 y=-1

，
則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-1）．

（3）①方法一：設(shè)AC，BD交于點(diǎn)E，直線l₁：y=x-2，與x軸、y軸交于點(diǎn)P和Q（如圖1）．

則點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)分別為（2，0），（0，-2）．
∴OP=OQ=2．
∴∠OPQ=45°．
∵AC⊥y軸，
∴AC∥x軸．
∴∠EAB=∠OPQ=45°．
∵∠DEA=∠AEB=90°，AB=

2

，
∴EA=EB=1．
∵點(diǎn)A在直線l₁：y=x-2上，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為t，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，t-2）．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t-1，t-3）．
∵AC∥x軸，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為t-2．
∵點(diǎn)C在直線l2：y=

1

2

x上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2t-4，t-2）．
∴拋物線C₂的解析式為y=[x-（2t-4）]²+（t-2）．
∵BD⊥AC，
∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t-1．
∵點(diǎn)D在直線l2：y=

1

2

x上，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(t-1，

t-1

2

)．
∵點(diǎn)D在拋物線C₂：y=[x-（2t-4）]²+（t-2）上，
∴

t-1

2

=[(t-1)-(2t-4)]2+(t-2)．
解得t=

5

2

或t=3．
∵當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，
∴t=

5

2

．
方法二：設(shè)直線l₁：y=x-2與x軸交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)A作y軸的平行線，過(guò)點(diǎn)B作x軸的平行線，交于點(diǎn)N．（如圖2）

則∠ANB=90°，∠ABN=∠OPB．
在△ABN中，BN=ABcos∠ABN，AN=ABsin∠ABN．
∵在拋物線C₁隨頂點(diǎn)A平移的過(guò)程中，
AB的長(zhǎng)度不變，∠ABN的大小不變，
∴BN和AN的長(zhǎng)度也不變，即點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的差以及縱坐標(biāo)的差都保持不變．
同理，點(diǎn)C與點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的差以及縱坐標(biāo)的差也保持不變．
由（1）知當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-2）時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，-3），
∴當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（t，t-2）時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（t-1，t-3）．
∵AC∥x軸，
∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為t-2．
∵點(diǎn)C在直線l2：y=

1

2

x上，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2t-4，t-2）．
令t=2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0）．
∴拋物線C₂的解析式為y=x²．
∵點(diǎn)D在直線l2：y=

1

2

x上，
∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，

x

2

)．
∵點(diǎn)D在拋物線C₂：y=x²上，
∴

x

2

=x2．
解得x=

1

2

或x=0．
∵點(diǎn)C與點(diǎn)D不重合，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

1

2

，

1

4

)．
∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0）時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(

1

2

，

1

4

)．
∴當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2t-4，t-2）時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2t-

7

2

，t-

7

4

)．
∵BD⊥AC，
∴t-1=2t-

7

2

．
∴t=

5

2

．
②t的取值范圍是t＜

15

4

或t＞5．
設(shè)直線l₁與l₂交于點(diǎn)M．隨著點(diǎn)A從左向右運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)D與點(diǎn)M重合，到點(diǎn)B與點(diǎn)M重合的過(guò)程中，以A，B，C，D為頂點(diǎn)構(gòu)成的圖形不是凸四邊形．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求得函數(shù)的解析式，點(diǎn)到直線的距離，平行于坐標(biāo)軸的點(diǎn)的特點(diǎn)，方程思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，難度較大．