Question

（2000•海淀區(qū)）已知：如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，A是弧BD的中點(diǎn)，過A點(diǎn)的切線與CB的延長線交于點(diǎn)E．
（1）求證：AB•DA=CD•BE；
（2）若點(diǎn)E在CB延長線上運(yùn)動，點(diǎn)A在弧BD上運(yùn)動，使切線EA變?yōu)楦罹�EFA，其它條件不變，問具備什么條件使原結(jié)論成立？（要求畫出示意圖，注明條件，不要求證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）點(diǎn)A是弧BD的中點(diǎn)，根據(jù)弦切角定理和圓周角定理知∠1=∠3，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)知∠ABE=∠D，于是有△ABE∽△CDA??AB•DA=CD•BE；
（2）要使結(jié)論仍然成立，則應(yīng)有△ABE∽△CDA，故可使=．當(dāng)=時有∠EAB=∠ACD，而由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)知∠ABE=∠ADC，故有△ABE∽△CDA，得?AB•DA=CD•BE
解答：（1）證明：連接AC
∵A是的中點(diǎn)，
∴．
∵EA切⊙O于點(diǎn)A，點(diǎn)C在⊙O上，
∴∠1=∠3=∠2
∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，
∴∠ABE=∠D
∴△ABE∽△CDA
∴
∴AB•DA=CD•BE．

（2）解：
如圖，具備條件=（BF=DA，或∠BCF=∠DCA，或∠BAF=∠DCA，或FA∥BD等），使原結(jié)論成立
點(diǎn)評：本題利用了弦切角定理、圓周角定理、相似三角形的判定和性質(zhì)求解．