Question

【題目】如圖，直線y= x+1與y軸交于A點(diǎn)，過點(diǎn)A的拋物線y=﹣ x2+bx+c與直線交于另一點(diǎn)B，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（3，0）．

（1）直接寫出拋物線的解析式；
（2）動(dòng)點(diǎn)P在線段OC上從原點(diǎn)出發(fā)以每秒一個(gè)單位的速度向C移動(dòng)，過點(diǎn)P作PN⊥x軸，交直線AB于點(diǎn)M，交拋物線于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P移動(dòng)的時(shí)間為t秒，MN的長(zhǎng)度為s個(gè)單位，求s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；
（3）設(shè)在（2）的條件下（不考慮點(diǎn)P與點(diǎn)O，點(diǎn)C重合的情況），連接CM，BN，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形？對(duì)于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C，C（3，0），

∴B的橫坐標(biāo)為3．

將x=3代入y= x+1得：y= ．

∴B（3， ）．

將x=0代入y= x+1得：y=1．

∴A（0，1）．

將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得： ，解得：b= ，c=1．

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+1

（2）

解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），則N（t，﹣ t2+ t+1），M（t， t+1）．

∴S=（﹣ t2+ t+1）﹣（ t+1）=﹣ t2+ t．（0＜t＜3）．

（3）

解：∵M(jìn)N∥BC，

∴當(dāng)MN=NB時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形．

∴﹣ t2+ t= ，解得t=1或t=2．

∴當(dāng)t=1或t=2時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形．

當(dāng)t=1時(shí)，M（1， ）．

依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可知：MC= = ．

∴MN=MC．

∴四邊形BCMN為菱形．

當(dāng)t=2時(shí)，M（2，2），則MC= = ．

∴MC≠M(fèi)N．

∴此時(shí)四邊形BCMN不是菱形．

綜上所述，當(dāng)t=1時(shí)，四邊形BCMN為菱形

【解析】（1）先求得點(diǎn)B和點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后將原點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可；（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0），則N（t，﹣ t2+ t+1），M（t， t+1），然后依據(jù)MN等于M、N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差可得到S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）已知MN∥BC，故此當(dāng)MN=NB時(shí)，四邊形BCMN為平行四邊形，然后列出方程組求解即可；當(dāng)MC=MN時(shí)，四邊形BCMN為菱形，然后分別將t=1和t=2代入求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后再求得MC的長(zhǎng)，最后依據(jù)MC于是等于MN進(jìn)行判斷即可．