Question

如圖，AB、AC是⊙O的弦，直線EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，AD⊥EF于點(diǎn)D且∠DCA=∠CBA，⊙O的半徑為2
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）求證：AC²=4AD．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）作直徑CH，連接AH，根據(jù)圓周角定理得∠CAH=90°，則∠H+∠ACH=90°，由于∠B=∠H，∠DCA=∠B，則∠H=∠DCA，所以∠DCA+∠ACH=90°，即∠HCD=90°，于是可根據(jù)切線的判定定理得到EF是⊙O的切線；
（2）證明Rt△ACH∽R(shí)t△DAC，利用相似比得到AC²=CH•AD，由于CH=4，則有AC²=4AD．

解答：證明：（1）作直徑CH，連接AH，如圖，
∵CH為直徑，
∴∠CAH=90°，
∴∠H+∠ACH=90°，
∵∠B=∠H，∠DCA=∠B，
∴∠H=∠DCA，
∴∠DCA+∠ACH=90°，即∠HCD=90°，
∴OC⊥EF，
∴EF是⊙O的切線；
（2）∵AD⊥EF，
∴∠ADC=90°．
又∵∠DCA=∠H，
∴Rt△ACH∽R(shí)t△DAC，
∴

AC

AD

=

CH

AC

，
∴AC²=CH•AD，
而CH=4，
∴AC²=4AD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．