Question

【題目】在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊分別用a、b、c表示．

（1）如圖①，在△ABC中，∠A＝2∠B，且∠A＝60°．求證：a2＝b（b+c）

（2）如圖②，在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且c＝7，b＝8，求a的長．

（3）若一個三角形的一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的2倍，我們則稱這樣的三角形為“倍角三角形”．問題（1）中的三角形是一個特殊的倍角三角形，那么對于任意的倍角△ABC，如圖③，∠A＝2∠B，關(guān)系式a2＝b（b+c）是否仍然成立？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）a＝；（3）關(guān)系式a2＝b（b+c）仍然成立，見解析.

【解析】

（1）先證△ACB為直角三角形，知a＝c，b＝c，據(jù)此可得a2＝（c）2＝，b（b+c）＝c（c+c）＝，從而得出答案；

（2）延長CA至點D，使AD＝AB，連接BD，證△CBD∽△DAB得，據(jù)此可得BD＝，由∠C＝∠D知a＝BC＝BD＝；

（3）延長BA至D，使AD＝AC＝b，連結(jié)CD，證△ADC∽△CDB得，據(jù)此可得答案．

解：（1）證明：∵∠A＝2∠B＝60°，

∴∠B＝30°，

則∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝90°，

∴△ACB為直角三角形，

在Rt△ACB中a＝c，b＝c，

所以a2＝（c）2＝，b（b+c）＝c（c+c）＝，

所以a2＝b（b+c）；

（2）如圖1，延長CA至點D，使AD＝AB，連接BD，

則∠D＝∠ABD＝∠CAB＝∠C，

∴△CBD∽△DAB，

∴，

∴BD2＝ABCD＝7×（8+7）＝105，

∴BD＝，

又∠C＝∠D，

∴a＝BC＝BD＝

（3）對于任意的倍角△ABC，∠A＝2∠B，關(guān)系式a2＝b（b+c）仍然成立，

如圖2，延長BA至D，使AD＝AC＝b，連結(jié)CD，

則∠CAB＝2∠D，

∴∠B＝∠D，BC＝CD＝a，

∴△ADC∽△CDB

∴，

即．

所以a2＝b（b+c）．