【題目】如圖,已知△ABC是邊長(zhǎng)為6cm的等邊三角形,動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā),分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng),其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s,點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s,當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí),P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s),解答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)t=2時(shí),判斷△BPQ的形狀,并說(shuō)明理由;
(2)設(shè)△BPQ的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)作QR//BA交AC于點(diǎn)R,連結(jié)PR,當(dāng)t為何值時(shí),△APR∽△PRQ?
【答案】(1)△BPQ是等邊三角形;(2)S=-t2+3t;(3)當(dāng)t=時(shí),△APR∽△PRQ.
【解析】
試題(1)當(dāng)t=2時(shí),分別求出BQ和BP的長(zhǎng)度,然后進(jìn)行說(shuō)明;(2)過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB,利用三角函數(shù)求出QE的長(zhǎng)度,然后求出△BPQ與t之間的關(guān)系;(3)根據(jù)題意可得△CRQ為等邊三角形,求出QR、BE、EP與t的關(guān)系可以得出四邊形EPQR是平行四邊形,然后進(jìn)行計(jì)算.
試題解析:(1)△BPQ是等邊三角形
當(dāng)t=2時(shí) AP=2×1=2,BQ=2×2=4
∴BP=AB﹣AP=6﹣2=4 ∴BQ=BP 又∵∠B=60°
∴△BPQ是等邊三角形;
(2)過(guò)Q作QE⊥AB,垂足為E
由QB=2t,得QE=2tsin60°=t 由AP=t,得PB=6﹣t
∴S△BPQ=×BP×QE=(6﹣t)×t=﹣t
∴S=﹣t;
(3)∵QR∥BA ∴∠QRC=∠A=60°,∠RQC=∠B=60°
∴△QRC是等邊三角形 ∴QR=RC=QC=6﹣2t
∵BE=BQcos60°=×2t=t
∴EP=AB﹣AP﹣BE=6﹣t﹣t=6﹣2t
∴EP∥QR,EP=QR ∴四邊形EPRQ是平行四邊形
∴PR=EQ=t 又∵∠PEQ=90°, ∴∠APR=∠PRQ=90° ∵△APR∽△PRQ,
∴∠QPR=∠A=60° ∴tan60°=即解得t=
∴當(dāng)t=時(shí),△APR∽△PRQ.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,AD是∠BAC的平分線(xiàn),AH是BC邊上的高,H是垂足.如果∠B=65°,∠C=45°,求∠DAH的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,點(diǎn),點(diǎn)分別在軸正半軸和負(fù)半軸上,.
(1)如圖1,若,,求的度數(shù);
(2)在和內(nèi)作射線(xiàn),,分別與過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)和第三象限內(nèi)的點(diǎn).
①如圖2,若,恰好分別平分和,求的值;
②若,,當(dāng),則的取值范圍是__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,BD為□ABCD的對(duì)角線(xiàn),按要求完成下列各題.
(1)用直尺和圓規(guī)作出對(duì)角線(xiàn)BD的垂直平分線(xiàn)交AD于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)F,垂足為O.(保留作圖痕跡,不要求寫(xiě)作法)
(2)在(1)的基礎(chǔ)上,連接BE和DF.求證:四邊形BFDE是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線(xiàn)AC,BD相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)C作CE∥BD,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC,CE與DE相交于點(diǎn)E.
(1)求證:四邊形CODE是矩形;
(2)若AB=10,AC=12,求四邊形CODE的周長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】探究與發(fā)現(xiàn):在△ABC中,∠B=∠C,點(diǎn)D在BC邊上(點(diǎn)B、C除外),點(diǎn)E在AC邊上,且∠ADE=∠AED,連接DE.
(1)如圖①,若∠B=∠C=45,
①當(dāng)∠BAD=60時(shí),求∠CDE的度數(shù);
②試猜想∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
(2)深入探究:如圖②,若∠B=∠C,但∠C≠45,其他條件不變,試探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AB=6,Rt△AB'C'可以看作是由Rt△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到的,則線(xiàn)段B'C的長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC和△DEF中,AB∥DE,點(diǎn)A,F,C,D在同一直線(xiàn)上,AF=CD,∠AFE=∠BCD.
試說(shuō)明:
(1)△ABC≌△DEF;
(2)BF∥EC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC 中,點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的角平分線(xiàn)于點(diǎn)E,交∠BCA的外角平分線(xiàn)于點(diǎn)F
(1)求證:EO=FO;
(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí),四邊形AECF是矩形?并證明你的結(jié)論.
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