Question

將一張正方形紙片剪成四個(gè)大小、形狀一樣的小正方形（如圖所示），記為第一次操作，然后將其中的一片又按同樣的方法剪成四小片，記為第二次操作，如此循環(huán)進(jìn)行下去．請(qǐng)將下表中空缺的數(shù)據(jù)填寫完整，并解答所提出的問(wèn)題：

操作次數(shù)	1	2	3	4	…
正方形個(gè)數(shù)	4	7			…

（1）如果剪100次，共能得到

 

個(gè)正方形；
（2）如果剪n次共能得到b_n個(gè)正方形，試用含有n、b_n的等式表示它們之間的數(shù)量關(guān)系

 

；
（3）若原正方形的邊長(zhǎng)為1，設(shè)a_n表示第n次所剪的正方形的邊長(zhǎng)，試用含n的式子表示a_n

 

；
（4）試猜想a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n與原正方形邊長(zhǎng)的數(shù)量關(guān)系，并用等式寫出這個(gè)關(guān)系

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：規(guī)律型：圖形的變化類

專題：

分析：（1）觀察圖形及表格發(fā)現(xiàn)每多剪一刀就會(huì)增加3個(gè)小正方形，據(jù)此填表即可；
（2）根據(jù)得到的規(guī)律得到通項(xiàng)公式，然后代入求值即可；
（3）根據(jù)每次將邊長(zhǎng)一分為二即可得到答案；
（4）利用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，代入數(shù)值即可求得答案．

解答：解：觀察圖形知道：剪一次，有4個(gè)小正方形，
剪兩次有7個(gè)小正方形，
剪三次有10個(gè)小正方形，
剪四次有13個(gè)小正方形，
規(guī)律：每多剪一刀就會(huì)增加3個(gè)小正方形，
故第n個(gè)共有4+3（n-1）=3n+1個(gè)，
（1）令n=100得3n+1=3×100=301；
（2）剪n次共能得到b_n個(gè)正方形，則用含有n、b_n的等式表示它們之間的數(shù)量關(guān)系為b_n=3n+1；
（3）第一次所剪的正方形的邊長(zhǎng)為

1

2

，
第二次所剪的正方形的邊長(zhǎng)為(

1

2

)2；
第三次所剪的正方形的邊長(zhǎng)為(

1

2

)3，
…
第n次所剪的正方形的邊長(zhǎng)a_n=(

1

2

)n；
（4）a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n-1+a_n=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n=1-(

1

2

)n
故答案為：（1）301；（2）b_n=3n+1；（3）an=(

1

2

)n；（4）1-(

1

2

)n．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖形的變化類問(wèn)題，找到規(guī)律并用通項(xiàng)公式表示出來(lái)是解決本題的關(guān)鍵．