Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與坐標(biāo)軸分別交于點A（8，0）和B（0，6），再將△AOB沿直線CD折起，使點A與點B重合，直線CD與x軸交于點C，與AB交于點D．
（1）試確定直線AB的函數(shù)解析式；
（2）求點C的坐標(biāo)．
（3）是否存在經(jīng)過點E（2，0）的直線l將△OBA的面積分成1：3？如果存在求出直線的解析式，不存在試說明理由．

Answer 1

解：（1）將A（8，0）與B（0，6）代入一次函數(shù)解析式得：，
解得：，
則直線AB解析式為y=-x+6；

（2）連接BC，由折疊得到AC=BC，
∵A（8，0），B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
在Rt△BOC中，設(shè)CB=CA=x，則有OC=OA-AC=8-x，
根據(jù)勾股定理得：BC²=OB²+OC²，即x²=（8-x）²+6²，
解得：x=，
∴OC=8-x=，即C（，0）；

（3）存在，做出直線EF，與直線AB交于點F，作FG⊥x軸，
根據(jù)題意得：S_△AEF=S_△ABC或S_△AEF=S_△ABC，
即AE•FG=×OA•OB或AE•FG=×OA•OB，
由AE=OA-OE=8-2=6，OA=8，OB=6，
解得：FG=6或FG=2，
理由為：設(shè)過E的直線方程為y=a（x-2）=ax-2a，
與直線AB解析式聯(lián)立消去y得：ax-2a=-x+6，
解得：x=，
∴y=a（-2）=6或2，
解得：a=-3或a=，
則滿足題意的直線方程為y=-3x+6或y=x-．
分析：（1）將A與B坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式求出k與b的值，即可確定出直線AB解析式；
（2）連接BC，由折疊的性質(zhì)得到BC=AC，在直角三角形BOC中，設(shè)BC=AC=x，表示出OC=8-x，由OB=6，利用勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出OC的長，即可得出C坐標(biāo)；
（3）存在，做出直線EF，與直線AB交于點F，作FG⊥x軸，根據(jù)題意得：S_△AEF=S_△ABC或S_△AEF=S_△ABC，求出FG長，聯(lián)立直線EF與AB，消去y表示出x，進而表示出y，根據(jù)縱坐標(biāo)為EF列出關(guān)于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可確定出滿足題意的直線解析式．
點評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，勾股定理，利用了方程的思想，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．