Question

如圖，已知二次函數的圖象過點A（-4，3），B（4，4）．
（1）求二次函數的解析式：
（2）求證：△ACB是直角三角形；
（3）若點P在第二象限，且是拋物線上的一動點，過點P作PH垂直x軸于點H，是否存在以P、H、D為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得，函數圖象經過點A（-4，3），B（4，4），
故可得：，
解得：，
故二次函數關系式為：y=（x+2）（13x-20）．

（2）由（1）所求函數關系式可得點C坐標為（-2，0），點D坐標為（，0），
又∵點A（-4，3），B（4，4），
∴AB==，AC==，BC==，
∵滿足AB²=AC²+BC²，
∴△ACB是直角三角形．

（3）存在點P的坐標，點P的坐標為（-，）或（-，）．
設點P坐標為（x，（x+2）（13x-20）），則PH=（x+2）（13x-20），HD=-x+，
①若△DHP∽△BCA，則=，即=，
解得：x=-或x=（因為點P在第二象限，故舍去）；
代入可得PH=，即P₁坐標為（-，）；
②若△PHD∽△BCA，則=，即=，
解得：x=-或x=（因為點P在第二象限，故舍去）．
代入可得PH=，即P₂坐標為：（-，）．
綜上所述，滿足條件的點P有兩個，即P₁（-，）、P₂（-，）．
分析：（1）將點A及點B的坐標代入函數解析式，得出a、b的值，繼而可得出函數解析式；
（2）根據二次函數解析式，求出點C的坐標，然后分別求出AC、AB、BC的長度，利用勾股定理的逆定理證明即可；
（3）分兩種情況進行討論，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分別利用相似三角形對應邊成比例的性質求出點P的坐標．
點評：此題屬于二次函數綜合題目，涉及了相似三角形的判定與性質、待定系數法求二次函數解析式，同時還讓學生探究存在性問題，本題的第三問計算量比較大，同學們要注意細心求解．