【題目】如圖,四邊形ABCD中,AD=CD,DAB=ACB=90°,過點D作DEAC,垂足為F,DE與AB相交于點E.

(1)求證:ABAF=CBCD;

(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是線段DE上的動點.設(shè)DP=x cm,梯形BCDP的面積為y

求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

y是否存在最大值?若有求出這個最大值,若不存在請說明理由.

【答案】(1)證明詳見解析;(1)y=3x+27;存在,當x=時,y有最大值,此時y=

【解析】

試題分析:(1)先根據(jù)AD=CD,DEAC判斷出DE垂直平分AC,再由線段垂直平分線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)可得出DCF=DAF=B,在RtDCF和RtABC中,DFC=ACB=90°,DCF=B可知DCF∽△ABC,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出答案;

(2)先根據(jù)勾股定理求出AC的長,再由梯形的面積公式即可得出x、y之間的函數(shù)關(guān)系式;

由EFBC,得AEF∽△ABC,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出AB、EF的長,進而可得出AEF∽△DEA及DF的長,根據(jù)DE=DF+FE可求出DE的長,由中的函數(shù)關(guān)系式即可得出結(jié)論.

試題解析:(1)AD=CD,DEAC,

DE垂直平分AC,

AF=CF,DFA=DFC=90°,DAF=DCF.

∵∠DAB=DAF+CAB=90°,CAB+B=90°,

∴∠DCF=DAF=B.

在RtDCF和RtABC中,DFC=ACB=90°,DCF=B,

∴△DCF∽△ABC.

,即,

ABAF=CBCD;

(2)解:連接PB,

AB=15,BC=9,ACB=90°,

AC==12,

CF=AF=6.

y=(x+9)×6=3x+27;

由EFBC,得AEF∽△ABC.

AE=BE=AB=,EF=

EAD=AFE=90°,AEF=DEA,得AEF∽△DEA.

RtADF中,AD=CD==10,AF=6,

DF=8.

DE=DF+FE=8+=

y=3x+27(0x),函數(shù)值y隨著x的增大而增大,

當x=時,y有最大值,此時y=

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